1、章末复习课1.线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.(1)证明线线平行的方法线线平行的定义；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，bab.(2)证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.2.线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.(1)证明直线与平面平行的方法线面平行的
2、定义；判定定理：a，b，aba；平面与平面平行的性质：，aa.(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质定理：，aa；面面垂直的性质定理：，l，a，ala.3.面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.(1)证明面面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA；线面垂直的性质定理：a，a；公理4的推广：，.(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，a.4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点(1)由已知想性质，由求证想判定.(2)适当添加辅助线(
3、或面)是解题的常用方法之一.(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.5.“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法.平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.方法一转化与化归思想立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想.(1)线线、线面、面面的位置关系，由转化思想使它们建立联系，如面面平行、线面平行、线线平行的互化，面面垂直、线面垂直、线线垂直的互化，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的
4、.(2)通过“平移”，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题.(3)通过添加辅助线而将立体问题转化为平面问题.【例1】 (2016山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)设FC的中点为I，连接G
5、I，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.【例2】 (2016全国文)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE
6、.所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点(2)解在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFP
7、F2.所以四面体PDEF的体积V222.【训练1】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点.由Q为PA中点，得QMPC，又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以
8、平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.方法二函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系.对立体几何中的有关最值问题，处理的方法常常是以最值为函数，选择恰当的自变量建立函数关系，通过分析函数关系性质，使问题得到解决.【例3】 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a).(1)求MN的长；(2)求a为何值时，MN的长最小.解(1)如图所示，作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得四边形M
9、NQP是平行四边形，MNPQ.CMBNa，CBABBE1，ACBF，由MPAB，NQEF得，即CPBQ.MNPQ(0a).(2)由(1)得MN，又0a，所以，当a时，MNmin.故M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.【训练2】 三棱锥有五条棱长为2，当第六条棱长为多少时，四面体的体积最大？并求其最大值.解如图，不妨设ABBCACCDBD2，取BC的中点E，连接AE，DE，则BC平面ADE，且AEED.在ADE中，设ADx，则AD边上的高h，SADEx(0x2)，VABCDVBADEVCADEBESADEECSADEBCSADE.故当x26，即x时，Vmax1.方法三分类
10、讨论思想分类讨论的思想方法是指在研究和解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后分类进行研究和解决，从而达到研究和解决全部问题的目的.【例4】 已知平面平面，AB，CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E，F分别在AB，CD上，且.求证：EF.证明若AB与CD共面，设AB与CD确定平面，则AC，BD.，ACBD.又，EFACBD.又EF，EF，AC，BD，EF.若AB与CD异面，过点A作AACD，在AA截一点O，使，EOBA，OFAD.又EO，EO，BA，EO，EO.同理OF，OF.EOOFO，平面EOF.又EF平面EOF，EF.综上所述，无论AB与CD是
11、异面还是共面，都有EF.【训练3】 如图所示，矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由.解连接AQ，因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD.又因为PQQD，PAPQP，所以QD平面PAQ.所以AQQD.(1)当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD90，此时BC边上不存在点Q，使PQQD.(2)当a2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时AQD90，所以BC边上存在一点Q，使PQQD.(3)当a2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2
12、，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.方法四探究性问题的解法解决开放问题一般用分析法，即从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.【例5】 (2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，CD平
13、面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.【训练4】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PFPB.四边
14、形ABCD是平行四边形，O是BD的中点.OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MA綉PB，PF綉MA.四边形AFPM是平行四边形.AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD.AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml BmnCnl Dmn解析由已知，l，l，又n，nl，C正确故选C.答案C2.(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A.若l，则 B.若，则lmC.若l，则 D.若，则lm解析选项A：l，
15、l，A正确；选项B：，l，m，l与m位置关系不确定；选项C，l，l，或与相交.选项D：，l，m.此时，l与m位置关系不确定，故选A.答案A3.(2015福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析m垂直于平面，当l时，也满足lm，但直线l与平面不平行，充分性不成立，反之，l，一定有lm，必要性成立.故选B.答案B4.(2015浙江高考)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.解析如图所示，
16、连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角.ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.答案(2016浙江高考)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEE
17、FFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，得cos BDF.所以，直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.6.(2015浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明设E为BC的中点，连接AE，由题意得A1E平面ABC，AE平面ABC，所以A1EAE，因为ABAC
18、，所以AEBC.又BCA1EE，故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)解作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，BC平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，AEA1EE，所以BC平面AA1DE，又A1F平面AA1DE.所以BCA1F，又DEBCE，A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由D
19、EBB14.DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sin A1BF.7.(2014浙江高考)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：AC平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明连接BD，在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，且AC平面ABC，平面ABC平面BCDEBC，从而AC平面BCDE.(2)解在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2.得BDBC，又平面ABC平面BCDE，且BD平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，所以BD平面ABC.作EFBD，与CB延长线交于F，连接AF，则EF平面ABC.所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在RtBEF中，由EB1，EBF，得EF，BF；在RtACF中，由AC，CF，得AF.在RtAEF中，由EF，AF，得tan EAF.所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
