1、第一章 三角函数 1 数列 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第2课时 三角函数线及其应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.自 主 预 习 探 新 知 1有向线段(1)定义：带有的线段(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.2三角函数线(1)作图：的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其反向延长线于点T.方向(2)图示：
2、(3)结论：有向线段、，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线ATMPOM思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在1角7和角87 有相同的()A正弦线 B余弦线C正切线D不能确定C 角7和角87 的终边互为反向延长线，所以正切线相同2如图，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线OM，正切线ATB正弦线OM，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线MP，正切线ATC 为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确3若角的余弦线长
3、度为0，则它的正弦线的长度为_1 若角 的余弦线长度为 0 时，的终边落在 y 轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，1)，所以正弦线长度为 1.合 作 探 究 释 疑 难 作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)4；(2)176；(3)103.解 如图 其中 MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线三角函数线的画法 1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.2作正切线时，应从 A1，0点引 x 轴的垂线，交 的终边 为第一或第四象限角或 终边的反向延长线 为第二或第三象限角于
4、点 T，即可得到正切线 AT.跟进训练1作出58 的正弦线、余弦线和正切线解 如图：sin58 MP，cos58 OM，tan58 AT.利用三角函数线比较大小【例 2】(1)已知 cos cos，那么下列结论成立的是()A若、是第一象限角，则 sin sin B若、是第二象限角，则 tan tan C若、是第三象限角，则 sin sin D若、是第四象限角，则 tan tan(2)利用三角函数线比较 sin23 和 sin45，cos23 和 cos45，tan23 和tan45 的大小思路点拨：(1)(2)(1)D 由图(1)可知，cos cos 时，sin sin，故 A 错误；图(1)
5、由图(2)可知，cos cos 时，tan tan，故 B 错误；图(2)由图(3)可知，cos cos 时，sin sin，C 错误；图(3)由图(4)可知，cos cos 时，tan tan，D 正确 图(4)(2)解：如图，sin 23 MP，cos 23 OM，tan 23 AT，sin 45 MP，cos45 OM，tan45 AT.显然|MP|MP|，符号皆正，sin23 sin45；|OM|OM|，符号皆负，cos23 cos45；|AT|AT|，符号皆负，tan23 tan45.显然|MP|MP|，符号皆正，sin23 sin45；|OM|OM|，符号皆负，cos23 cos4
6、5；|AT|AT|，符号皆负，tan23 tan45.1利用三角函数线比较大小的步骤：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负.2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.跟进训练2已知asin27，bcos27，ctan27，则()Aabc BacbCbcaDbacD 由如图的三角函数线知：MPAT，因为27 28 4，所以 MPOM，所以 cos27 sin27 tan27，所以 bac.3设42，试比较角 的正弦线、余弦线和正切线的长度如果234，上述长度关
7、系又如何？解 如图所示，当42时，角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM；当 2 34时，角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM.利用三角函数线解三角不等式 探究问题1利用三角函数线如何解答形如sin a，sin a(|a|1)的不等式？提示：对形如sin a，sin a(|a|1)的不等式：图画出如图所示的单位圆；在y轴上截取OMa，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P，并作射线OP和OP；写出终边在OP和OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin a的角的范围，其余部分即为满足不等式sin a的角的范围2
8、利用三角函数线如何解答形如 cos a，cos a(|a|1)的不等式？提示：对形如 cos a，cos a(|a|1)的不等式：图画出如图所示的单位圆；在 x 轴上截取 OMa，过点(a,0)作 x轴的垂线交单位圆于两点 P 和 P，作射线 OP 和 OP；写出终边在 OP 和 OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式 cos a的角 的范围，其余部分即为满足不等式 cos a 的角 的范围【例 3】利用三角函数线确定满足下列条件的角 的取值范围(1)cos 22；(2)tan 33；(3)|sin|12.思路点拨：解(1)如图，由余弦线知角的取值范围是 2k34 2k34，kZ.(2)
9、如图，由正切线知角的取值范围是 k2k6，kZ.(3)由|sin|12，得12sin 12.如图，由正弦线知角 的取值范围是k6 k6，kZ.1将本例(1)的不等式改为“cos 22”，求的取值范围解 如图，由余弦线知角的取值范围是 2k42k74，kZ.2将本例(3)的不等式改为“12sin 32”，求的取值范围解 由三角函数线可知sin3sin23 32，sin76 sin6 12，且12sin 32，故的取值集合是 2k6，2k3 2k23，2k76(kZ)3利用本例的方法，求函数y 2sin x1的定义域解 要使函数有意义，只需2sin x10，即sin x12.由正弦线可知定义域为2
10、k6，2k56(kZ)利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角满足条件的终边的位置.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.课 堂 小 结 提 素 养 1本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见类型1；(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.2三角函数线是三角函数的几何表示，
11、它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重3利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围 正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围1下列判断中错误的是()A一定时，单位圆中的正弦线一定B在单位圆中，有相同正弦线的角相等C和有相同的
12、正切线D具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B A正确；B错误，如6与56 有相同正弦线；C正确，因为与的终边互为反向延长线；D正确2如果OM，MP分别是角5的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0 BMP0OMCMPOM0DOMMP0D 角4的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角5的余弦线和正弦线满足OMMP0.3若asin 4，bcos 4，则a，b的大小关系为_ab 因为54 432，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4cos 4，即ab.4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合(1)sin 32；(2)cos 12.解(1)作直线y 32 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角的终边在如图所示的阴影区域内(含边界)，角的取值集合为 32k232k，kZ.图 图(2)作直线x12交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角的终边在如图所示的阴影区域内(含边界)，角的取值集合为232k432k，kZ.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
