1、平面向量与三角函数【例 1】已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)若 ab23，记，求 sin2sin(2)的值；(2)若 k2，k(kZ)，且 a(bc)，求证：tantan2.【解析】(1)因为 abcos()，所以 cos23.所以 sin2sin(2)1cos2cos19.(2)因为 bc(1cos，sin)，a(bc)，所以 cossin(1cos)sin0.又因为 k2，k(kZ)，所以 tansin1cos2sin2cos22cos22tan2.本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的恒等变换及相关运算，向量与三角函数的结合，既符合在知识的“交
2、汇处”命题，又加强了对双基的考查 3,00,3(cossin)1/tan2113(0)ABCOOCABOAOCOBOC【变式已知，为原点若，求的值；练习】若，且，求与的夹角的大小 22(cossin)0,33,0(3,3)/3cos3sin0tan1.(3cossin)(3cos)sin131cos.212OCABOCABOA OC，因为，所以【，所以因为，所以，所以解析】(0)3313sin,(,).2223 332cos.320.6COB OCOB OCOB OC又，所以 ，则所以所以、的夹角为，则又，所以 平面向量在几何中的应用【例2】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点
3、，四边形PECF是矩形证明：(1)PAEF；(2)PAEF.122220,1()(1)(0)22222222(,1)(1).2222DDCxDPAPEFPAEF以 为坐标原点，所在的直线为 轴建立如图【证明】所示的坐标系设正方形的边长为，则，于是，-222222221212222121,22.2222()11()22222222110 0222212.PAEFPAEFPAEFPA EFPAEFPAEF 因为，所以,所以因为 ，所以，所以向量是解决图形问题的有力工具，而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条件，实现了形向数的转化本题中，由于四边形ABCD是正方形，因此可以用坐标法解题
4、用平面向量证明平面几何问题时，要根据题目的条件选择用基向量法还是用坐标法【变式练习2】已知ABC中，C为直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE2EB，求证：ADCE.2222()()2 222 2203223220.33.aAD CEACCD CAAEAC CACD CAAC AECD AEaaaaaaaaADCE 设此等腰直角三角形的直角边为，则 所以，【证明】平面向量在物理中的应用【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在 水 平 杆 子 AB 上，ACW 150，BCW120，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量)1212122110.,.180150301801
5、206090.ABf fNffffCf fCFWECWCFf CEf CWfECWFCWFCECFW设、处所受力分别为、，的重力用 表示，则 以重力作用点 为、的始点，作平行四边形，使为对角线，则，因为，所以所以平【行四边形解析】3cos30105 3,21cos6010525 3N5 N.ECECWCECWAB为矩形所以，所以 处受力为，处受力为利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径0000001,00,1(1,2)|(21)32|32|.0PPQQPQtPQPQP Qt两个动点 从开着匀线运动为动点 从发平面上有向量，今有
6、始沿与向量 相同的方向作速直，速度大小；另一，出，沿与向量相同的方向作匀速直线运动，速度大小为设、在时刻 秒时，分别在、处，则当时，时间 为多【变秒练】？习3少式1212121212eeeeeeeeee3 0000(1,2)(21)(21)(1,2)(13)1,00,11,1|2323 1,02 0,13,2|32|13.(1,2)1,1(12)(21)3,2(2 31 2)PQP QtPtttQtttPQ依题意，则，所以，所以在时刻 时，点位置为，点位置为，所【解析】以12121212eeeeeeee00(2 312)(1,2)(123)(12)(1)(3)(3)02.ttttttPQP Q
7、ttt ，又，所以 ，解得 1.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v(4，3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度设开始时点P的坐标为(10,10)，则5秒后点P的坐标为_【解析】5秒后点P的坐标为(10,10)5(4，3)(10，5)(10，5)2.(21)0,108,0()ABCPOAt ABACtPR已知平面直角坐标系内有三个定点，若动点满足：OP，则点 的轨迹方程是_xy10()()(21)12,122121 0.1 12OPxyxytxttxyyt 【解设，则，所以，消去 得 析】3.若 a，b 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|c|的最大
8、值为 2.【解析】由(ac)(bc)0，则 c2(ab)c0，所以|c|2|ab|c|cos0，所以|c|ab|cos，又|ab|a22abb2 2，所以|c|2.4.已知ABC的顶点的直角坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若c5，求sinA的值；(2)若A是钝角，求c的取值范围 22(34)(34)5(24)6161coscos,52 552 5sin1cos.5253(3)(4)0.321532)ABACccACAAC ABAAAAB ACccABACAc 因为 ，当 时，所以若 为钝角，则 ，解得显然，此时和不共线故当 为钝角时，的取【解析值范围，】为 125.60
9、.()()12,3(2,1);21xOyxOyPOPxyeexyPxyMNOMMNOxOy如图所示，在平面斜坐标系中，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若其中，是分别与 轴、轴同方向的单位向量，则点的坐标为，若，求与求以 为圆心，为半径的圆在斜坐标系中的方程12ee 222212222,323(23)412913 12cos601919.22(23)42(42)216210MOMOMOMONMN ONOMMN因为，所以，所以 ，所以又，所以【解，故析】121212121212121212eeeeeeeeeeeeeeeeeeee82 7.MN，所以 222222222().()21
10、1 0.21 0P xyOPxyOPOPxyxyxyxyxyxyxy设圆上任意一点的斜坐标为，则因为，所以 ，即 故所求圆的方程为 121212eeeeee 122112121 1()/(0)(0)0(0)2x yx yx xy y向量在几何中的应用 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 共线的充要条件：，且或 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的充要条件：或 ababRaba b cos,|34|求夹角问题，往往利用向量的夹角公式求线段的长度或证明线段相等，可以用向量的模，向量的线性运算a ba bab2向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景，如物理中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量力的做功是向量数量积的物理背景向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成相联系向量在解决相关物理问题中有重要作用注意两个方面的问题，一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象
