1、第一章 三角函数系列丛书 进入导航第一章 三角函数RJA版数学必修4 第一章 三角函数系列丛书 进入导航 1.4 三角函数的图象与性质RJA版数学必修4 第一章 三角函数系列丛书 进入导航 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1.能够求出函数的周期.2.能够判断函数的奇偶性.学习目标第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 重点：会求函数周期，会
2、判断奇偶性；难点：函数周期的概念.重点难点第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 预习篇01 新知导学第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期周期函数非零的常数f(xT)f(x)第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (2)最小正周期定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数f(x)的，简称周期正弦函数与余弦函
3、数的最小正周期：.最小正周期2第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1是否所有的周期函数都有最小正周期？答：不是如 f(x)C(C 为常数，xR)，所有的非零实数 T 都是它的周期，不存在最小正数2周期函数的周期是否唯一？答：不唯一若 f(xT)f(x)，则 f(xnT)f(x)，(nN)第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 正弦函数、余弦函数的周期(1)函数 ysinx 与 ycosx 的周期都是 2k(kZ)最小正周期为 2.(2)函数 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A，是常数，且 A0，0)的周期为：T
4、2.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 3三角函数的周期与什么量有关？若 0，函数 yAsin(x)或 yAcos(x)的周期公式是什么？答：三角函数的周期只与 有关，而与 A，无关，若0)的周期是多少？答：因为 f(x)的周期为 T，所以 f(xT)f(x)，即fxT f(x)，所以 yf(x)的周期是T.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (1)正弦曲线关于对称；是函数(填“奇”或“偶”)；(2)余弦曲线关于对称；是函数正弦函数、余弦函数的奇偶性原点奇y 轴偶第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 R
5、JA版数学必修4 5判断函数的奇偶性除了定义外，结合上面思考如何利用函数图象的特点判断函数的奇偶性？答：若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于 y 轴对称，则该函数是偶函数第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 1对周期函数的正确理解(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：存在一个不等于零的常数 T；对于定义域内的每一个值 x，都有 xT 属于这个定义域；满足 f(xT)f(x)第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一(3)如果 T
6、 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(nZ 且 n0)也是 f(x)的周期第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 2正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 课堂篇02 合作探究第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例 1】求下列函数的周期：(1)ysin2x
7、3(xR)；(2)y|sinx|(xR)【分析】(1)利用代换 z2x3，将求原来函数的周期转化为求 ysinz 的周期求解，或利用公式求解(2)作出函数图象观察求解求三角函数的周期第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】(1)方法一：令 z2x3，xR，zR，函数 ysinz 的最小正周期是 2，就是说变量 z 只要且至少要增加到 z2，函数 ysinz(zR)的值才能重复取得，而 z22x322(x)3，自变量 x 只要且至少要增加到 x，函数值才能重复取得，从而函数 f(x)sin2x3(xR)的周期是.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书
8、进入导航 RJA版数学必修4 方法二：f(x)sin2x3 中，2，T2|2|.(2)作出 y|sinx|的图象如图：由图象易知 y|sinx|的周期为.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼三角函数周期的主要求法：方法一：定义法；方法二：公式法，对于 yAsin(x)或 yAcos(x)(A，是常数，且 A0，0)，周期 T2|；方法三：观察法(图象法)第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 下列函数中，周期为 的函数为()Aysin14x6Bysin12x3Cycos2x3Dycos4x4第一章14 1.4.2
9、第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解析：利用周期公式 T2，可知 C 中函数周期 T22.故选 C.答案：C第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例 2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sinxcosx；(2)f(x)cosx1sinx；(3)f(x)1cosx cosx1.【分析】首先看定义域是否关于原点对称，再看f(x)与 f(x)之间的关系正弦、余弦的奇偶性第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】(1)函数的定义域为 R，关于原点对称f(x)sin(x)cos(x)sinxcosxf(x)，
10、f(x)sinxcosx 为奇函数(2)函数应满足 1sinx0，函数的定义域为x|x2k2，kZ，显然定义域不关于原点对称，f(x)cosx1sinx为非奇非偶函数第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (3)由1cosx0，cosx10，得cosx1，函数的定义域为x|x2k，kZ，定义域关于原点对称当cosx1时，f(x)0，f(x)f(x)f(x)1cosx cosx1既是奇函数又是偶函数第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是，再验证fx是否等于f
11、x或fx，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数.,另外，当知道函数奇偶性求参数时，要注意诱导公式五或六的运用.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 下列函数中周期为2，且为偶函数的是()Aysin4x Bycos14xCysin4x2Dycos14x2第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解析：显然周期为2的有A和C，又因为ysin4x2 cos4x是偶函数，故选C.答案：C第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【例3】(1)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周
12、期函数若f(x)的最小正周期是，且当x0，2时，f(x)sinx，则f(53)的值为()A12B.12C 32D.32周期性与奇偶性的综合应用第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 (2)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称求f(0)证明：函数f(x)是周期函数第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【解】(1)f(x)的最小正周期T，f(53)f(532)f(3)，又yf(x)是偶函数，f(x)f(x)f(53)f(3)f(3)sin3 32，故选D.(2)yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x
13、)f(x)对xR都成立令x0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 yf(x)的图象关于直线x1对称f(x)f(2x)，又f(x)f(x)，f(2x)f(x)，f(x4)f(x2)(f(x)f(x)yf(x)是周期为4的函数第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 通法提炼抽象函数周期问题的解题策略(1)对于抽象函数的求值问题，一般是根据函数的奇偶性、周期性等，将所求函数值转化为可求函数值范围内求解(2)若根据所给条件，能找到与已知相同或相近的函数，则借助于该函数的性质来分析抽象函数，进
14、而处理相关问题第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x(1,0)时，f(x)2x1，求f92 的值第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 解：因为f(x)是以2为周期的函数，所以f92 f9222 f12.又f(x)是奇函数，所以f12 f12.又当x(1,0)时，f(x)2x1.所以f92 f12 f12212 1 0.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 提高篇03 自我超越第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 易
15、错警示系列不清楚f(xT)表达的意义致误【例】利用定义求f(x)sin(2x6)的最小正周期第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【错解】f(x2)sin2(x2)6sin(2x64)sin(2x6)f(x)，T2是f(x)的最小正周期【错解分析】错解中求的不是最小正周期对于yAsin(x)(A0，0)，其周期为2.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 【正解】令z2x6，xR，zR.又ysinz的周期是2，z2(2x6)22(x)6，f(x)sin2(x)6sin(2x62)第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 sin(2x6)f(x)T.第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()答案：D第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：巩固篇04（点击进入）第一章14 1.4.2 第1课时 系列丛书 进入导航 RJA版数学必修4 温示提馨请 做：课 时 作 业 9（点击进入）
