1、2.1综合法学习目标1.理解综合法的意义.2.掌握综合法的思维特点.3.会用综合法解决问题.知识点综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知条件a0，b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.梳理综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称
2、为综合法.(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”.(3)模式：综合法可以用以下的框图表示其中P为条件，Q为结论.类型一用综合法证明不等式例1已知a，b，cR，且它们互不相等，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等，a4b4c4a2b2b2c2c2a2.反思与感悟(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也
3、可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则.(2)用综合法证明不等式时常用的结论ab()2(a，bR)；ab2(a0，b0).跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数.求证：3.证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3633，即3.类型二用综合法证明等式例2求证：sin(2)sin2sincos().证明因为sin(2)2sincos()sin()2sincos()sin()coscos()sin2sincos()sin()coscos()sinsin()sin，所以原等式成立.反思与感悟证明三角恒等式的主要依据
4、(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.(2)和、差、倍角的三角函数公式.(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.跟踪训练2在ABC中，证明：BC.证明在ABC中，由正弦定理及已知，得，于是sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0.因为BC，从而BC0，所以BC.类型三综合法在数列中的应用例3设数列an的前n项和为Sn，满足(3m)Sn2manm3(nN).其中m为常数，且m3，m0.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列.证明(1
5、)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减得(3m)an12man，因为m0且m3，所以，所以an是等比数列.(2)因为b1a11，qf(m)，所以nN且当n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.引申探究1.若本例中条件：m1，求an的前n项和.解若m1，则.由已知得(31)S12a14，所以a11，即数列an是以1为首项，为公比的等比数列，Sn21()n221n.2.若本例条件不变，求an的通项公式及前n项和.解由(1)知，an是公比为的等比数列.由(3m)Sn2manm3，令n1，得(3m)S12ma1m3，故a1
6、1，所以an()n1.若m3，则Sn()n1.若m3，则Snn，故Sn反思与感悟综合法证明数列问题的依据跟踪训练3已知在数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn14an2(n1,2，)，a11.(1)设bnan12an(n1,2，)，求证：数列bn是等比数列；(2)设cn(n1,2，)，求证：数列cn是等差数列.证明(1)Sn14an2，Sn24an12，两式相减，得Sn2Sn14an14an(n1,2)，即an24an14an，变形得an22an12(an12an).bnan12an(n1,2)，bn12bn.由S2a1a24a12及a11，得a25，b1a22a13.由此可知，数列bn是以
7、3为首项，2为公比的等比数列.(2)由cn(n1,2)，得cn1cn，将bn32n1代入式，得cn1cn(n1,2).由此可知，数列cn是公差为的等差数列.1.设alg2lg5，bex (xbB.abC.abD.无法确定答案A解析alg2lg5lg101，bexb.2.设0x1，则a，bx1，c中最大的是()A.cB.bC.aD.随x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3.已知ab，则下列不等式一定成立的是()A.|a|b|B.a2b2C.acbcD.eaeb答案D解析yex是增函数且ab，eaeb.4.已知数列an为等差数列，公差d1，数列cn满足cnaa(nN).判断数列
8、cn是否为等差数列，并证明你的结论.解数列cn为等差数列，证明如下：因为数列an为等差数列，公差d1，所以ana1(n1)d.又数列cn满足cnaa(nN).所以cnaa2n2a11.所以cn1cn2，所以数列cn为等差数列.1.用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹.2.应用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“关
9、键”.课时作业一、选择题1.若实数x，y满足不等式xy1，xy0，则()A.x0，y0B.x0，y0，y0D.x0答案A解析2.在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是()A.b2c2a2B.b2c2a2C.b2c2a2D.b2c2a2答案D解析由余弦定理的推论，得cosA，A为钝角，cosA0，则b2c2a2.3.已知a0，b0，且ab2，则()A.aB.abC.a2b22D.a2b23答案C解析ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.4.下列函数f(x)中，满足“任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()A.f(x)B.f(x)(x1)2C.f(x)e
10、xD.f(x)ln(x1)答案A解析选项C，D中的两个函数在(0，)上均为增函数，选项B中的函数在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数.只有f(x)在(0，)上为减函数.故选A.5.若P，Q (a0)，则P与Q的大小关系为()A.PQB.PQC.PQD.由a的取值确定答案C解析P22a72，Q22a72，P2Q2，即PB是sinAsinB的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案C解析由正弦定理知2R，又A、B为三角形的内角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.二、填空题7.已知函数f(x)2x，a，b(0，)
11、.Af()，Bf()，Cf()，且ab，则A，B，C从小到大排列为_.答案CB，又f(x)2x在R上为增函数，ABC.8.已知p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为_.答案pq解析qp.9.在ABC中，C60，a，b，c分别为A，B，C的对边，则_.答案1解析由余弦定理知，c2a2b22abcosC，c2a2b2ab，将式代入式，得1.10.已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_.答案(0,16解析a，b(0，)且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16，要使ab恒成立，只需16，016.11.设函数f(x)|lgx|，若0af(b)，则a
12、b的取值范围是_.答案(0,1)解析f(x)|lgx|当0ab0，ab(0,1).当0a0，lgab0，即0ab1，ab(0,1).当1ab时，f(x)lgx(x1)为增函数，lga0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b).答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，则lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b).15.已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN)在函数yx21的图像上.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.解(1)由已知得an1an1，则an1an1.又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，故an1(n1)1n.(2)由(1)知，ann，从而bn1bn2n.故bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn2b.
