1、第二章本章诊疗一、精要总结1为什么在指数函数中规定“”？答：这样规定的出发点是：使函数的定义域为R；同时使函数具有单调性。 如果，则，一方面对没有什么意义，且时，没有太大的研究价值。若，则对的某些取值没有意义，如：，则，在等时都无意义。若时，它的定义域、值域、对应法则都是一目了然，再深入研究没有意义。2对于指数式子大小的比较常用如下方法：比较幂值的大小常常化为同底数的幂，根据指数的单调性比较大小如果不能化为同底数的幂，则要借助幂值的范围利用中间量进行比较（如常选0，1作中间量）3在学习对数函数的性质时一定要注意以下几点：（1）在求定义域时，要考虑真数大于0，同时还要注意底数大于0且不等于1（2
2、）比较两对数值的大小时，若同底，则根据对数函数的单调性；若不同底，则可考虑化为同底或用中间值比较（3）通过上表可看出对数函数的图象与对数函数的性质之间具有下列的对应关系：图象位于轴右侧（这是由定义域决定的），且以 轴为渐近线即对数函数的定义域0；曲线向上、向下无限延展，即对数函数的值域为R；曲线恒过点（1，0），即对于对数函数来说当=1时，=0；1时，曲线逐渐上升，即当1时，函数在定义域上单调递增；01时，曲线逐渐下降，即当00,且a1)，若f(x)g(x)，求x的取值范围错解：f (x)g(x)，loga(x2-3x+2)loga(2x2-5x2），故x2-3x+22x2-5x+2，即x2-
3、2x0，01时，等价于当时，等价于6142654或7判断对数函数单调性中的错误例7求函数的单调递减区间。错解1：由在R上的单调递减， 所以的单调递减区间为R。错解2：令，则当时，是增函数，所以函数的单调递减区间为。剖析：上述错解1生搬硬套了函数在R上单调递减这一性质；错解2忽视了函数的单调区间须在函数定义域内进行研究，即单调区间是定义域的子集。正解：得函数的定义域为 令，则当时，是增函数， 所以函数的单调递减区间为。8理解幂函数概念有偏差致误 例8已知幂函数，则幂函数。错解：因为为幂函数，所以，解得，或。当时，适合；当时，在上为常函数，不合题意，舍去，故所求幂函数为。剖析：事实上幂函数为，当时
4、，也是为幂函数。正解：上面的解法加上这种情形，最后的结论应该为或。9考虑幂函数问题不全面致误例9已知幂函数是偶函数且在区间（0，+）是单调减函数，求函数f(x)的解析式。错解：因为f(x)在（0，+）上是减函数，所以0，所以-1m3,又。当时，当时，当时，。剖析：依据f(x)在（0，+）上是减函数，求得后，因为没有注意其他限制条件而得出或正解：由错解求出知，当时，当时，都不是偶函数，所以当时，是偶函数，故所求函数f(x)的解析式为10混同幂函数的性质与指数函数的性质致误例10比较大小：。错解：0.50.6,1,又0.50.6,111剖析：本题中前两数比较用指数函数单调性，后两数比较用幂函数的单
5、调性，比较时往往容易混同造成错解正解：0.50.6,由指数函数的性质可知：1，又0.50.6,由幂函数的性质可知：1。故1。11忽视隐含条件导致误例11已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于轴对称，求m的值。错解：由己知，得0 即0，解得6142654当时，=-3。当时，=-4。当时，=-3因为函数图象关于轴对称，所以=-4 即。剖析：幂函数与坐标轴不相交时，忽视了隐含条件=0这种特殊情况正解：由题意得0，解得，又因为，所以当时，=0。当时，=-4 均符合题意，所以或3。12讨论幂函数性质致误例12讨论函数的定义域、奇偶性和单调性。错解：（1）因为指数可以取一切实数，所以的定义域是R；（2）由于，则该函数是非奇非偶函数；（3）该函数无法判断其单调性。剖析：在求幂函数的定义域时，一定要注意指数的取值；同时在考虑函数的奇偶性时，一定要注意函数的定义域是否关于原点对称。否则易于出错.正解：（1）是正偶数，是正奇数函数的定义域为。6142654（2）是正奇数，且定义域关于原点对称。是上的奇函数（3），且是正奇数，函数在上单调递增
