1、解析几何热点问题 三年真题考情核心热点真题印证核心素养直线方程、定值问题2019，19；2018，19；2018北京，19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题2019北京，19；2017，20；2017，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆的位置关系2019，19；2018，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线的位置关系2019，21；2019北京，18；2018，19；2017，20数学运算、逻辑推理 热点聚焦突破教材链接高考求曲线方程及直线与圆锥曲线教材探究(选修21P49习题A5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P(2，0)，Q(0，)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点
2、P(3，0).试题评析1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a，b的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C，AF与BC相交于点E，若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_.解析易知抛物线的焦点F的坐标为，又|CF|2|AF|且|CF|3p，|AB|AF|p，可得A(p，p).易知AEBFEC，故SACESA
3、CF3ppp23，p26，p0，p.答案探究提高1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A的坐标，(2)根据AEBFEC求出线段比，进而得到面积比并利用条件“SACE3”求解.2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】 (2019天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率.解(1)设椭圆的
4、半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)，直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k(满足(20k)20).所以直线PB的斜率为或.教你如何审题圆锥曲线中的证明问题【例题】 (2019北京卷)已知抛物线C：x22py(p0)经过点(2，1).(1)求抛物线C
5、的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.审题路线自主解答(1)解由抛物线C：x22py经过点(2，1)得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，1).设直线l的方程为ykx1(k0).由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA，同理得B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n
6、1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3).探究提高1.解决本题的关键是直径所对的圆周角为直角，要证明直线经过y轴上定点D，只需满足0，进而求解.类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系，线段的长度比转化为线段端点的坐标之比.2.解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 (2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1
7、，0)，l的方程为x1.把x1代入椭圆方程y21，可得点A的坐标为或，又M(2，0)，所以直线AM的方程为yx或yx.(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2b0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点.(1)解由题意，得b21，c1，所
8、以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点(0，0). 热点跟踪训练1.(2020江西九校联考)已知椭圆C：1过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)
9、解由题意知，a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.因为c，所以椭圆C的离心率e.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y0b0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值.解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).由
10、已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.代入5y19y2，可得5(k1)3，将等式两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以，k的值为或.3.(2020湖南湘东六校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m，
11、0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e得a2c，由|BF|BA|2，得a2，ab2，a2b2c2，由可得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由消y得(34k2)x216kx40，可得0，k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1).菱形的对角线互相垂直，()0，(1k2)(x1x2)4k2m0，得m，即m，k，m0.存在满足条件的实数m，m的取值范围为.4.已知椭圆
12、C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，则a，b2a2c21.故椭圆C的方程为y21.(2)椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为y2xt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，由消去x得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28
13、)0，即3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.又3t3，所以y4b0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆E上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F2作两条互相垂直的直线l1与l2(均不与x轴重合)分别与椭圆E相交于A，B，C，D四点，线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.(1)解设P(x0，y0)(y00)，则1.整理，得xa2.由题意，得.整理，得xa2y.y，又y00，即a2b2.c1，a2b2c2，a24
14、，b23.故椭圆E的方程为1.(2)证明设直线AB的方程：yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消y得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2.xM，yMk(xM1).用替换点M坐标中的k，可得xN，yN.若直线AB关于x轴对称后得到直线AB，直线CD关于x轴对称后得到直线CD，线段AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN与直线MN关于x轴对称.若直线MN经过定点，则该定点一定是直线MN与MN的交点，该交点必在x轴上.设该交点为T(s，0)，则(sxM，yM)，(xMxN，yMyN).由，得s.代入点M，N的坐标并化简，得s.经过的定点为.6.(2020广州质量监测
15、)如图，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)(一题多解)点P(x0，y0)(y00)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围.解(1)将xc代入1中，由a2c2b2，可得y2，所以弦长为.由解得所以椭圆C的方程为y21.(2)法一因为点P(x0，y0)(y00)，F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为l1：y0x(x0)yy00，l2：y0x(x0)yy00.由题意可知.由于点P为椭圆C上除左、右顶点外的任一点，所以y1(y00)，所以，因为m，2x02，所以，即mx0，因此，m.法二设|PF1|t，在PF1M中，由正弦定理得，在PF2M中，由正弦定理得，因为PMF1PMF2，MPF1MPF2，所以，解得m(2t4)，因为t(ac，ac)，即t(2，2)，所以m.
