1、学业分层测评(八)学业达标1.设矩阵M.(1)求矩阵M的逆矩阵M1；(2)求矩阵M的特征值.【解】(1)矩阵A(adbc0)的逆矩阵为A1所以矩阵M的逆矩阵M1.(2)矩阵M的特征多项式为f()245.令f()0，得到M的特征值为1或5.2.(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值. 【导学号：30650052】【解】因为A1AE，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.3.已知二阶矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵A.【解】设A，由题意知，即解得A.4.已知二
2、阶矩阵M有特征值3及对应的一个特征向量1，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.【解】设M，则3，故，故联立以上两方程组解得a1，b4，c3，d6，故M.5.已知是矩阵M的属于特征值3的一个特征向量，其中M，且abm3，求a，b，m的值.【解】因为是矩阵M的属于特征值3的一个特征向量，所以M，即3，所以由abm3，解得a，b，m.6.已知矩阵A.(1)求矩阵A1；(2)求逆矩阵A1的特征值及特征向量；(3)对任意向量，求(A1)20.【解】(1)det(A)2(1)002，A1.(2)f()(1)，令f()0，得A1的特征值1，21，属于特征值1的一个特征向量1，属于
3、特征值21的一个特征向量2.(3)设xy，(A1)20x(1)201y(2)202.7.(福建高考)已知矩阵A的逆矩阵A1.求矩阵A；求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【导学号：30650053】【解】因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A.矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量.能力提升8.已知矩阵M有特征值14及对应的一个特征向量1，并有特征值21及对应的一个特征向量2.(1)求矩阵M；(2)求M2 0162.【解】(1)令M，则由特征值与特征向量的定义，得M111，M222，即有4且，即解得所以M.(2)由条件，得M2 01622(1)2 016.
