1、第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型 3.2.2(整数值)随机数(random numbers)的产生 学 习 目 标核 心 素 养 1了解基本事件的特点，理解古典概型的定义(重点)2会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题(重点、难点)3理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率(重点)1通过古典概型的概率计算，培养数学运算素养2借助随机模拟估计概率，提升数学抽象素养.自 主 预 习 探 新 知 1.基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的 事件称为该次试验的基本事件(2)特点：任何两个基本事件是 的；任何事件(除不可能事件)
2、都可以表示成基本事件的 和随机互斥2古典概型(1)定义：如果某类概率模型具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本事件 ；每个基本事件出现的 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型可能性相等只有有限个(2)古典概型的概率公式：对于任何事件 A，P(A)_.A事件包含的基本事件的个数基本事件的总数3随机数与伪随机数(1)随机数要产生 1n(nN*)之间的随机整数，把 n 个 相同的小球分别标上 1,2,3，n，放入一个袋中，把它们 ，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数充分搅拌大小形状(2)伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照 产生的数，具有 (很长)，它们具有类
3、似 的性质因此，计算机或计算器产生的并不是 ，我们称它们为伪随机数真正的随机数确定算法周期性 周期随机数4整数值随机数的产生及应用(1)产生整数值随机数的方法用 计 算 器 的 随 机 函 数 RANDI(a，b)或 计 算 机 的 随 机 函 数_可以产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的软件产生随机数用计算机或计算器模拟试验的方法称为方法RANDBET WEEN(a，b)Excel 随机模拟(2)整数值的随机数的应用利用计算器或计算机产生的 来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为 方法或 方法随机数频率随机模拟蒙特卡罗
4、思考：“在区间0,10上任取一个数，这个数恰为 2 的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？提示 不是，因为在区间0,10上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型1下列试验中，属于古典概型的是()A种下一粒种子，观察它是否发芽B从规格直径为 250 mm0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径 dC抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶C 依据古典概型的特点，只有 C 项满足有限性与等可能性2某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的 2 个，则基本事件共有()A1 个 B2 个C3 个D
5、4 个C 基本事件有(数学、计算机)，(数学、航空模型)，(计算机、航空模型)共 3 个3甲、乙、丙三名同学站成一排，乙站中间的概率是()A.16B.12C.13D.23C 所有基本事件有：(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共 6 个，乙站中间包含(甲乙丙)，(丙乙甲)共 2 个，所以 P2613.4已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数 0 或 1，用 0 表示正面朝上，用 1 表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果经随机模拟试验产生
6、了如下 20 组随机数：101 111 010 101 010100 100 011 111 110000 011 010 001 111011 100 000 101 101据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为_0.35 抛 掷 这 枚 硬 币 三 次 恰 有 两 次 正 面 朝 上 的 有010,010,100,100,010,001,100 共 7 组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率可以为 7200.35.合 作 探 究 释 疑 难 基本事件及其计数问题【例 1】连续掷 3 枚硬币，观察落地后 3 枚硬币是正面向上还是反面向上(1)写出这个试验的所有基本事件；(2
7、)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解(1)由树形图表示如下：试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下 3 个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)基本事件的三种列举方法(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来此方法适合于较为简单的试验问题(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数列表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(3)树
8、状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目跟进训练1抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是()A向上的点数是奇数B向上的点数是 3C向上的点数是 4D向上的点数是 6A 向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是 1，向上的点数是 3，向上的点数是 5，则 A 项不是基本事件，B，C，D 项均是基本事件古典概型的判断与计算探究问题1任何两个基本事件具有什么特征？提示 互斥2若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示 不是，若
9、是古典概型，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等3使用古典概型概率公式应注意哪些问题？提示(1)确定是否为古典概型(2)所求事件是什么，它包含哪些基本事件【例 2】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为 1,2；现从袋中任取两张卡片(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？(3)求所取卡片标号之和小于 4 的概率思路点拨：先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断，再用古典概型概率公式求相应概率 解(1)基本事件为(红 1，红 2
10、)，(红 1，红 3)，(红 1，蓝 1)，(红1，蓝 2)，(红 2，红 3)，(红 2，蓝 1)，(红 2，蓝 2)，(红 3，蓝 1)，(红3，蓝 2)，(蓝 1，蓝 2)共 10 种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型(2)由(1)知，基本事件为 2,3,4,5 共 4 种，且他们出现的频数依次为 1,4,3,2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型(3)设 A所取两张卡片标号之和小于 4，由(1)知，A 事件包含(红 1，红 2)，(红 1，蓝 1)，(红 1，蓝 2)，(红 2，蓝 1)，(蓝 1，蓝 2)共 5 种，由古典概型概率公式得：
11、P(A)51012.1(变结论)本题条件不变，求所取两张卡片标号之和不大于 4且颜色相同的概率解 所有基本事件为(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(红 1，蓝 1)，(红 1，蓝 2)，(红 2，红 3)，(红 2，蓝 1)，(红 2，蓝 2)，(红 3，蓝 1)，(红 3，蓝 2)，(蓝 1，蓝 2)共 10 种 设 A所取两张卡片标号之和不大于 4 且颜色相同，则 A 事件包含(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(蓝 1，蓝 2)共 3 种，由古典概型概率公式得：P(A)310.2(变条件)在本题原条件不变的情况之下，现往袋中再放一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张
12、，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率解 加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，所有可能情况如下表所示：绿蓝 红 012123 绿012123 13234 蓝2345 134 25 红3由表格可知，从六张卡片中任取两张的所有可能情况有 15 种其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有绿 0，蓝 1，绿 0，蓝 2，绿 0，红 1，绿 0，红 2，绿 0，红 3，蓝 1，红 1，蓝1，红 2，蓝 2，红 1，共 8 种情况由古典概型的概率计算公式可得，所求事件的概率 P 815.求解古典概型的概率“四步”法整数随机模拟及应用【例 3】盒中有大小、形状相同的 5
13、个白球和 2 个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，恰有两个白球；(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有 3 个白球解 用计算器或计算机产生 1 到 7 之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5 表示白球，6,7 表示黑球.(1)统计随机数个数 N 及小于 6 的个数 N1，则N1N 即为任取一球，得到白球的概率的近似值(2)三个数一组(每组内不重复)，统计总组数 M 及恰好有两个数小于 6 的组数 M1，则M1M 即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.(3)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数 K 及三个数都小于 6的组数 K1，则
14、K1K 即为任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有 3 个白球的概率的近似值利用随机模拟估计概率应关注三点 用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：1当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；2研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；3当每次试验结果需要 n 个随机数表示时，要把 n 个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.跟进训练2种植某种树苗，成活率是 0.9.若种植该种树苗 5 棵，用随机模拟方法估计恰好 4 棵
15、成活的概率解 利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，我们用 0 代表不成活，1 至 9 的数字代表成活，这样可以体现成活率是 0.9.因为种植 5 棵，所以每 5 个随机数作为一组，可产生 30 组随机数，如下所示：69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117 这就
16、相当于做了 30 次试验，在这些数组中，如果恰有一个 0，则表示恰有 4 棵成活，共有 9 组这样的数，于是我们得到种植 5 棵这样的树苗恰有 4 棵成活的概率近似为 9300.3.古典概型的综合问题【例 4】如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩(单位：分)甲组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中以 x 表示(1)如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求 x；(2)如果 x7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩均不低于 90 分的概率思路点拨：(1)先求乙组同学成绩的平均值，再求 x.(2)列出从甲、乙两组同学中各随机选一名的所有结果，由古
17、典概型求解 解(1)x 乙14(87909093)90，x 甲14(80 x869194)90，解得 x9.(2)当 x7 时，甲组的成绩为 86 分，87 分，91 分，94 分，乙组的成绩为 87 分，90 分，90 分，93 分，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名的可能结果有(86,87)，(86,90)，(86,90)，(86,93)，(87,87)，(87,90)，(87,90)，(87,93)，(91,87)，(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,87)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共有 16 种，其中这两名同学的数学成绩均不低于 90 分有
18、(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共 6 种，故这两名同学的数学成绩均不低于 90 分的概率 P 61638.古典概型常与统计问题相结合，解题时要对所给图表认真分析，把图表信息及古典概型公式有机地结合起来.跟进训练3国家标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 80 mg/kg.根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的 A，B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆，对其氮氧化物的排放量(单位：mg/kg)进行检测，检测结果记录如表：A8580856090 B70 x95y75由于表格被污损，导致数据 x，y 看不清，统计员只记得
19、A，B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等(1)求表格中 x 与 y 的值；(2)从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆，记“氮氧化物排放量超过 80 mg/kg”的车辆数为 X，求 X1 时的概率解(1)由条件知x Ax B，s2As2B，又x A15(8580856090)80，x B15(70 x95y75)，s2A15(25025400100)110，s2B15100(x80)2225(y80)225，xy160，x802y802200，解得x70，y90或x90，y70.(2)被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中，氮氧化物排放量不超过80 mg/kg 的
20、有三辆，记为 A1，A2，A3，氮氧化物排放量超过 80 mg/kg 的有两辆，记为 B1，B2，从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆的情况有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共 10 种 其中符合条件的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共 6 种故所求概率 P(X1)61035.课 堂 小 结 提 素 养 1古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经
21、常遇到的题型解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A)mn时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，从而求出 m，n.2求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏3对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古
22、典概型()(4)随机数的抽取就是简单随机抽样()答案(1)(2)(3)(4)2若连续掷两次骰子得到的点数为 m、n，则点 P(m，n)在直线xy4 上的概率是()A.13 B.14C.16D.112D 由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，(1,6)；(2,1)，(2,2)，(2,6)；(6,1)，(6,2)，(6,6)，共 36 种，而满足点P(m，n)在直线 xy4 上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共 3 种故所求概率为 336 112，故选 D.3若用随机(整数)模拟求“有 4 个男生和 5 个女生，从中取 4个，求选出 2 个男生 2 个女生”的概率时，
23、可让计算机产生 19 的随机整数，并用 14 代表男生，用 59 代表女生因为是选出 4个，所以每 4 个随机数作为一组若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是_选出的 4 个人中，只有 1 个男生 14 代表男生，59 代表女生，4678 表示选出的 4 人中一男三女4某校夏令营有 3 名男同学 A，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级 男同学ABC女同学XYZ现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和1 名女同学”，求事件 M 发生的概率解(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共 15 种(2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共 6 种 因此，事件 M 发生的概率 P(M)61525.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
