1、2015-2016学年四川省成都市龙泉一中高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1已知两个力，的夹角为90，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60，那么的大小为（）A5NB5NC10ND5N2设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（）A（3，1）B（1，1）C（3，1）或（1，1）D（3，1）或（1，1）3在ABC中，D是BC的中点，AB=4，AC=3，则=（）A7B2CD4cos275+cos215+cos75cos15的值是（）ABCD5已知，则sin2x的值为（
2、）ABCD6已知P（cos，sin），Q（cos，sin）则|PQ|的最大值为（）AB2C4D27已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，且a=1，b=5，c=2，则ABC的面积S=（）AB2C3D48 =（）ABCD9若tan=2tan，则=（）A1B2C3D410已知A，B，C是ABC的三个内角，设f（B）=4sinBcos2（）+cos2B，若f（B）m2恒成立，则实数m的取值范围是（）Am1Bm3Cm3Dm111某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A15米B5米C10米D12米12在平面直角坐标中，O
3、为坐标原点，设向量=， =，其中=（3，1），=（1，3），若=+，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上）13在ABC中，已知b=，c=1，B=45，则C=14若，且，则向量与的夹角为 15函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是16设，（0，），且，则cos的值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知cossin=，且，求的值18已知A、B、C是ABC的三个内角，向量=（cosA+1，），=（sinA，1），且；（1）求
4、角A； （2）若=3，求tanC19设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=（1）求a，c的值；（2）求sin（AB）的值20已知向量=（sinB，1cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是ABC的内角（）求角B的大小；（）求sinA+sinC的取值范围21ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值22在四边形ABCD中，|=12，|=5，|=10，|=|，在方向上的投影为8；（1）求BAD的正弦值；（2）求BCD的面积23已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1
5、）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值24如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP=（0），=，四边形OAQP的面积为S（1）求+S的最大值及此时的值0；（2）设点B的坐标为（，），AOB=，在（1）的条件下，求tan（+0）的值25已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求证：；（2）设=（0，1），若+=，求，的值2015-2016学年四川省成都市龙泉一中高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1已知两个力，的夹角为
6、90，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60，那么的大小为（）A5NB5NC10ND5N【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由条件利用两个向量的加减法及其几何意义，求得|的值【解答】解：两个力，的夹角为90，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60，那么的大小为|=10cos60=5（N ），如图所示：故选：B2设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（）A（3，1）B（1，1）C（3，1）或（1，1）D（3，1）或（1，1）【考点】平面向量坐标表示的应用【分析】根据已知中点A（2，0），B（4，2），求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出
7、点P的坐标【解答】解：A（2，0），B（4，2），=（2，2）点P在直线AB上，且，=2，或=2，故=（1，1），或=（1，1），故P点坐标为（3，1）或（1，1）故选C3在ABC中，D是BC的中点，AB=4，AC=3，则=（）A7B2CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的线性表示与数量积的定义，计算即可【解答】解：如图所示，ABC中，D是BC的中点，=（），=+=+（）=+，=（+）（）=（）=（3242）=故选：C4cos275+cos215+cos75cos15的值是（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦【分析】利用诱导公式化简表达式，再用平方关系，二倍角
8、公式化简为1+sin30，求出结果【解答】解：cos275+cos215+cos75cos15=cos275+sin275+sin15cos15=1+sin30=故选A5已知，则sin2x的值为（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sin的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin的值代入即可求出值【解答】解：法1：由已知得，两边平方得，
9、求得；法2：令，则，所以故选D6已知P（cos，sin），Q（cos，sin）则|PQ|的最大值为（）AB2C4D2【考点】两点间的距离公式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由P，Q的坐标，在代入两点间的距离公式即可【解答】解：P（cos，sin），Q（cos，sin），|PQ|=，cos（）1，1|PQ|0，2故选B7已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，且a=1，b=5，c=2，则ABC的面积S=（）AB2C3D4【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，再由a，b，sinC的值，利用三角形面积公式求出S即可【解答
10、】解：ABC中，a=1，b=5，c=2，由余弦定理得：cosC=，sinC=，则S=absinC=15=2，故选：B8 =（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】将原式分子第一项中的度数47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：=sin30=故选C9若tan=2tan，则=（）A1B2C3D4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可【解答】解：tan=2tan，则=3故答案为：310已
11、知A，B，C是ABC的三个内角，设f（B）=4sinBcos2（）+cos2B，若f（B）m2恒成立，则实数m的取值范围是（）Am1Bm3Cm3Dm1【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】化简f（B）=2sinB+1，由f（B）m2恒成立得出mf（B）2恒成立，根据B的范围解出f（B）2的最大值极为m的最小值【解答】解：f（B）=4sinB+cos2B=2sin2B+2sinB+12sin2B=2sinB+1f（B）m2恒成立，mf（B）2恒成立0B，f（B）的最大值为3，m32=1故选：D11某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰
12、角为30，则塔高为（）A15米B5米C10米D12米【考点】解三角形的实际应用【分析】先设出塔高为h，进而在RtAOC中求得OC=OA，在RtAOD中根据ADO=30表示出OD最后在OCD中，利用余弦定理求得关于h的一元二次方程进而求得h【解答】解：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO=45，则OC=OA=h在RtAOD中，ADO=30，则OD=h，在OCD中，OCD=120，CD=10，由余弦定理得：OD2=OC2+CD22OCCDcosOCD，即（h）2=h2+1022h10cos120，h25h50=0，解得h=10或h=5（舍）；故选C12在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，
13、 =，其中=（3，1），=（1，3），若=+，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）ABCD【考点】平面向量的综合题【分析】由=（3，1），=（1，3），=+，知=（3+，+3），由01，03+34，由此能得到正确答案【解答】解：向量=， =，=（3，1），=（1，3），=+，=（3+，+3），01，03+4，0+34，且3+3故选A二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上）13在ABC中，已知b=，c=1，B=45，则C=30【考点】正弦定理【分析】根据大边对大角可得C45，由正弦定理求得 sinC的值，从而求得求得C的值【解答】解：在ABC中
14、，已知b=，c=1，B=45，由大边对大角可得C45，再由正弦定理可得 =，解得 sinC=，故C=30，故答案为3014若，且，则向量与的夹角为 120【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据三个向量的关系，通过向量夹角公式求出结果【解答】解：，且即展开得：整理得：1+12=0解得：故向量与的夹角为12015函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是，1【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=s
15、in2x+cos2x=sin（2x+）函数的周期为： =，振幅为：1故答案为：，116设，（0，），且，则cos的值为【考点】二倍角的正切；两角和与差的正弦函数【分析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan的值大于1，确定出的范围，进而sin与cos的值，再由sin（+）的值范围求出+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（+）的值，所求式子的角=+，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：tan=，tan=1，（，），cos=，sin=，sin（+）=，+（，），cos（+）=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）si
16、n=+=故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知cossin=，且，求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】把已知的等式两边平方求得2sincos=结合的范围求得sin+cos，化简后代入得答案【解答】解：因为cossin，平方可得 12sincos=，2sincos=又（，），故sin+cos=，=18已知A、B、C是ABC的三个内角，向量=（cosA+1，），=（sinA，1），且；（1）求角A； （2）若=3，求tanC【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（1）利用向量共线定理可得： sinAcosA=
17、1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出 （2）由题知=3，利用倍角公式化为=3，因此=3，解得tanB再利用tanC=tan（A+B）=tan（A+B），展开代入即可得出【解答】解：（1），sinAcosA=1，2（sinAcosA）=1，sin（A）=，0A，A，A=A=（2）由题知=3，=3，=3，=3，tanB=2tanC=tan（A+B）=tan（A+B）=19设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=（1）求a，c的值；（2）求sin（AB）的值【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理【分析】（1）利用余弦定理
18、列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）a+c=6，b=2，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=（a+c）22acac=36ac=4，整理得：ac=9，联立解得：a=c=3；（2）cosB=，B为三角形的内角，sinB=，b=2，a=3，sinB=，由正弦定理得：s
19、inA=，a=c，即A=C，A为锐角，cosA=，则sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=20已知向量=（sinB，1cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是ABC的内角（）求角B的大小；（）求sinA+sinC的取值范围【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】（）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度
20、数；（）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的范围，进而得到所求式子的范围【解答】解：（），又，2化简得：2cos2BcosB1=0，cosB=1（舍去）或，又B（0，），；（），则，21ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系【分析】根据本题所给的条件及所
21、要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数量积由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值【解答】解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156=144（）a2=b2+c22bccosA=（cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=522在四边形ABCD中，|
22、=12，|=5，|=10，|=|，在方向上的投影为8；（1）求BAD的正弦值；（2）求BCD的面积【考点】平面向量的综合题【分析】（1）由|=|，可求ADC=90在RtADC中，可求BD，DAC的三角函数值，由在方向上的投影为8可求CAB的三角函数值，代入sinBAD=sin（DAC+CAB）=sinDACcosCAB+sinCABcosDAC可求（2）由三角形的面积公式可求， sinBAD而SBCD=SABC+SACDSABD可求【解答】解：（1）|=|，以为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等，即为矩形ADC=90，在RtADC中，在方向上的投影为8，CAB（0，），sinBAD=sin（
23、DAC+CAB）=sinDACcosCAB+sinCABcosDAC=（2）=39， =30，sinBAD= SBCD=SABC+SACDSABD=23已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1
24、+sin（2x+），它的最小正周期为=（2）在区间上，2x+，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+（）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+1=1+24如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP=（0），=，四边形OAQP的面积为S（1）求+S的最大值及此时的值0；（2）设点B的坐标为（，），AOB=，在（1）的条件下，求tan（+0）的值【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正切函数【分析】（1）由已知可得=1+cos，S=sin，进而可得+S=+1，（0），由三角函数的最值易得答案；（2）结合（1）易得tan0=1，tan=，代入两角和的正切
25、公式可得答案【解答】解：（1）由已知，A、P的坐标分别为（1，0）、（cos，sin），=（1+cos，sin），=1+cos，又S=sin，+S=sin+cos+1=+1，（0）故当=时， +S取最大值，所以0=；（2）由（1）可知以0=，所以tan0=1，又cos=，sin=，tan=，tan（+0）=25已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求证：；（2）设=（0，1），若+=，求，的值【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到coscos+sinsin=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得，的值【解答】解：（1）由=（cos，sin），=（cos，sin），则=（coscos，sinsin），由=22（coscos+sinsin）=2，得coscos+sinsin=0所以即；（2）由得，2+2得：因为0，所以0所以，代入得：因为所以所以，2016年11月1日
