1、第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业(二十四)第24讲平面向量的概念及其线性运算基础热身1.下列说法中正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量与共线,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量2.下列四项中不能化简为的是()A.+-B.(+)+(+)C.(+)+D.-+3.已知点O为ABC的外接圆的圆心,且+-=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.1204.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足+=0,=,则实数的值为.5.已知四边形OA
2、BC中,=,若=a,=b,则=.能力提升6.2017赣州二模 如图K24-1所示,已知=a,=b,=3,=2,则=()图K24-1A.b-aB.a-bC.a-bD.b-a7.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.(+),(0,1)B.(+),C.(-),(0,1)D.(-),8.2017北京海淀区期末 如图K24-2所示,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=+,则-=()图K24-2A.3B.2C.1D.-39.2017鞍山第一中学模拟 已知ABC的外心P满足3=+,则cos A=()A.B.C.-D.10.2017湖南长郡中学月考 设D,E,F分别
3、是ABC的边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则+与()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是.12.2017哈尔滨三模 在ABC中,已知ABAC,AB=AC,点M满足=t+(1-t),若BAM=,则t=.13.(15分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.14.(15分)如图K24-3所示,在OCB中,点A是BC的中点,点D满足OD=2BD,DC与OA交于点E.设
4、=a,=b.(1)用向量a,b表示,;(2)若=,求实数的值.图K24-3难点突破15.(5分)2017太原三模 在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=60,点P是ABC内一点(含边界),若=+,则的取值范围为()A.B.C.D.16.(5分)如图K24-4所示,将两个直角三角形拼在一起,当E点在线段AB上移动时,若=+,则当取得最大值时,-的值是.图K24-4课时作业(二十五)第25讲平面向量基本定理及坐标表示基础热身1.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()A.a-b,b-aB.a+b,a-bC.2b-3a,6a-4bD.2a+b,a+b2.已知向量a=
5、(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3) 3.在ABC中,D为BC上一点,且=,以向量,作为一组基底,则=()A.+B.+C.+D.+4.2017北京昌平区二模 已知a=(1,),b=(,k),若ab,则k=.5.2017合肥一中、马鞍山二中等六校联考 在ABC中,D为边BC上靠近点B的三等分点,连接AD,E为AD的中点,若=m+n,则m+n=.能力提升6.2017广州月考 已知点A(1,-1),B(2,t),若向量=(1,3),则t=()A.2B.3C.4D.-27.已知向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+
6、b=c(R),则+x的值为()A.-B.C.-D.8.2017吉林梅河口一模 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图K25-1所示,若c=a+b(,R),则=()图K25-1A.2B.4C.5D.79.2017四川凉山一诊 设向量a=(cos x,-sin x),b=-cos-x,cos x,且a=tb,t0,则sin 2x=()A.1B.-1C.1D.010.如图K25-2所示,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为()图K25-2A.B.C.1D.311.2017株洲一模 平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且与共线,则x=.12.2017潮州二模
7、 在ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则=(用坐标表示).13.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.14.(15分)2017太原模拟 已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.难点突破15.(5分)2017湖北重点中学联考 已知G为ADE的重心,点P为DEG内一
8、点(含边界),B,C分别为AD,AE上的三等分点(B,C均靠近点A),若=+(,R),则+的取值范围是()A.1,2B.C.D.16.(5分)2017四川资阳三诊 在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的半圆分别交BA及BA的延长线于点M,N,点P在 上运动(如图K25-3所示).若=+,其中,R,则2-5的取值范围为()A.-2,2B.-2,2C.-2,2D.-2,2图K25-3课时作业(二十六)第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例基础热身1.2017贵阳二模 已知向量a,b满足|a+b|=2,ab=2,
9、则|a-b|=()A.8B.4C.2D.12.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|2a-b|=()A.2B.C.10D.3.2017北京东城区二模 已知向量a=(1,2),b=(x,4),且ab,则x=()A.-2B.-4C.-8D.-164.2017唐山模拟 已知向量a=(3,-1),b=(2,1),则a在b方向上的投影为.5.2017南充三诊 已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为.能力提升6.2017东莞模拟 已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为120,则|a-3b|=()A.B.C.D.47.2017鹰潭模拟 已知向量a
10、=(1,2),b=(x,-1),若a(a-b),则ab=()A.-B.C.2D.-28.已知向量与的夹角为120,且=2,=4,若=+,且,则实数的值为()A.B.-C.D.-9.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+b(R),向量d如图K26-1所示,则()图K26-1A.存在0,使cdB.存在0,使=60C.存在0,使=30D.存在0,使c=md(m是不为0的常数)10.已知非零向量与满足=0,且=-,则ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰非等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形11.若向量a与b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.12.20
11、17武汉模拟 已知平面向量a,b满足=1,a与b-a的夹角为60,记m=a+(1-)b (R),则的取值范围为.13.(15分)2017黄山模拟 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(,1),n=(cos A+1,sin A),且mn=2+.(1)求角A的大小;(2)若a=,cos B=,求ABC的面积.14.(15分)已知向量a=sinx+,1,b=(4,4cos x-).(1)若ab,求sinx+的值;(2)设f(x)=ab,若0,f-=2,求cos 的值.难点突破15.(5分)2017上饶重点中学联考 在等腰三角形AOB中,若=5,且|+|,则的取值范围为()A.
12、-15,25)B.C.D.16.(5分)已知ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=2,A为钝角,M是BC的中点,则=()A.3B.4C.5D.6课时作业(二十七)第27讲数系的扩充与复数的引入基础热身1.设i为虚数单位,则i3+i5=()A.0B.1C.-1D.22.2017遂宁三诊 复数z=cos+isin在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2017豫北重点中学联考 复数z=(2+3i)i的实部与虚部之和为()A.1B.-1C.5D.-54.2017石家庄三模 复数=.5.设i为虚数单位,复数z1=1-2i,z2=4+3i,则|z1+z2|=.能
13、力提升6.2017山西实验中学联考 若复数z满足=1,其中i为虚数单位,则复数z的共轭复数为()A.-+B.-C.-D.+7.2017成都三诊 已知复数z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则=()A.B.5C.2D.28.2017大同三模 如图K27-1所示的网格纸中小正方形的边长是1,复平面内点Z对应的复数z满足(z1-i)z=1,则复数z1=()图K27-1A.-+iB.+iC.-iD.-i9.2017长郡中学模拟 若复数z=a+2i(aR),且满足=|-i|,则a=()A.1B.1C.2D.210.2017抚州第一中学
14、模拟 已知集合A=N,B=xR|z=3+xi,且|z|=5(i为虚数单位),则AB=()A.4B.-4C.D.11.2017广元三诊 欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数的模为()A.B.1C.D.12.已知复数z=,则复数z的虚部为.13.2017郑州模拟 已知=b+2i(a,bR),其中i为虚数单位,则a-b=.14.2017池州联考 已知复数z=,其中a为整数,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的最大值为.难点突破15.(5分
15、)2017枣庄模拟 已知m为实数,i为虚数单位,若m+(m2-4)i0,则=()A.iB.1C.-iD.-116.(5分)2017鹰潭模拟 “复数z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“=+2k(kZ)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 课时作业(二十四)1.D解析 当b=0时,a与c不一定共线,A错误;如图所示,a=,c=,b=,b与a,c均不共线,但a与c共线,B错误;在ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,C错误;若a与b中有一个为零向量,则a与b一定共线,当a与b不共线时,a与b一定都是非零向量,故D正确.2.A解析 根据向量的线
16、性运算可知,+-=2+,故选A.3.A解析 由+-=0得+=,如图所示,由O为ABC的外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且CAO=60,故A=30.故选A.4.-2解析 因为D是BC的中点,所以+=2.由+=0,得=.又=,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点(如图所示),因此=+=2=-2,所以=-2.5.-a+b解析 =-,=+=b+a,所以=b+a-a=b-a.6.D解析 由平面向量的三角形法则可知,=+=+=(-)-=-+=-a+b,故选D.7.A解析 根据向量的平行四边形法则,得 =+.因为点P在对角线AC上(不包括端点A,C),所以与共线
17、,所以=(+),(0,1),故选A.8.D解析 E是DC的中点,=(+),=-+2,=-1,=2,则-=-1-2=-3.9.A解析 设点D为BC的中点,则+=2,结合题意可得2=3,据此可知ABC的外心与重心重合,则ABC是等边三角形,所以cos A=cos =,故选A.10.A解析 因为=2,所以=,则=-=-,同理=+,=-,则+=-,即+与反向平行,故选A.11.梯形解析 由已知得=+=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故与共线,且|,所以四边形ABCD是梯形.12.解析 由题意可得=t+-t,所以-=t-t,即=t,所以与共线,即B,M,C三点共线,且t=.又由条件知=,所以t=.在
18、ABC中,由正弦定理知=,所以t=.13.解:(1)证明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,与共线.又与有公共点B,A,B,D三点共线.(2)若ka+b与a+kb共线,则存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a与b是不共线的非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0,k=1. 14.解:(1)=(+),=2-=2a-b,=-=-=2a-b.(2)D,E,C三点共线,=m=2ma-mb(0m1).在ODE中,=-=-=a-b.由得2ma-mb=a-b,即解得15.D解析 在AB上取一点D,使得=,过D作DHAC,交
19、BC于H.=+,且点P是ABC内一点(含边界),点P在线段DH上.当P在D点时,|取得最小值2;当P在H点时,|取得最大值,此时B,P,C三点共线,=+,=,=+,=+=,|=.故|的取值范围为2,.故选D.16.-2解析 如图所示,作BMAD交AC于M,作BNAC交AD于N,则AMBN且AM=BN.由题意知,当取得最大值时,点E与点B重合.在RtABC中,=,在ABM中,由正弦定理得=,则max=.又在RtABD中,=|,在ABN中,由正弦定理得=|,则=,-=-2.课时作业(二十五)1.B解析 显然向量a+b与向量a-b不共线,故选B.2.A解析 易得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1
20、),故选A.3.D解析 由题意得=+=+(-)=+,故选D. 4.3解析 a=(1,),b=(,k),ab,k1-=0,k=3.5.-解析 由图可知=(+)=-=(-)-=-,m+n=-=-.6.A解析 由题意得=(2-1,t+1)=(1,3),则t+1=3,解得t=2,故选A.7.C解析 由已知可得(1,2)+(-3,5)=(4,x),+x=-,故选C.8.B解析 以a的终点,b的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由题意得c=(-+6,+2)=(-1,-3),则有解得故=4.9.C解析 因为b=-cos-x,cos x=(-s
21、in x,cos x),a=tb,所以cos xcos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tan x=1,所以x=+(kZ),则2x=k+(kZ),所以sin 2x=1,故选C.10.A解析 =m+ =m+,设=t(0t1),则=+=+t(+)=+t-=(1-t)+t,所以m=1-t且=,故m=1-t=1-=,故选A.11.1解析 由题知=(3,6),=(x-3,-4).因为与共线,所以3(-4)-6(x-3)=0,解得x=1.12.(-6,21)解析 依题意得=3.因为点Q是AC的中点,所以+=2,所以=2-=(-2,7),故=3=
22、(-6,21). 13.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),解得 (3)设O为坐标原点,=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).14.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,则有故所求的充要条件为t20且t1+2t20.(2)证明:当
23、t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),所以=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,又与有公共点A,所以不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.15.D解析 由题意可知,点P位于D,E,G三点时,+取得最值.当点P在点D处时,=3,=0,则+=3;当点P在点E处时,=0,=3,则+=;当点P在点G处时,=1,=1,则+=.故选D.16.C解析 建立平面直角坐标系如图所示,则B(2,0),D(0,1),E(2,1),F1,.设P(cos ,sin )(0),由=+得(cos ,sin )=(2,1)+-1,则2-5=2cos -2sin =2sin+,又0,
24、所以+,则-22sin+2,所以2-5的取值范围是-2,2,故选C.课时作业(二十六)1.C解析 |a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=(2)2-42=4,|a-b|=2.故选C.2.D解析 2a-b=2(1,2)-(-1,3)=(3,1),|2a-b|=,故选D. 3.C解析 ab,ab=x+8=0,x=-8,故选C.4.解析 a在b方向上的投影为=.5.解析 a(a+b)=a2+ab=3,ab=-1,cos=-,向量a与b夹角的正弦值为.6.C解析 |a-3b|2=a2-6ab+9b2=1-6cos 120+9=13,所以|a-3b|=.7.A解析 由题意得a-b=(1-x,3
25、).a(a-b),13=2(1-x),解得x=-,则ab=1+2(-1)=-.8.C解析 因为=24cos 120=-4,所以=(+)(-)=-4+16-4+4=0,解得=,故选C.9.D解析 由图知d=(4,3),由题得c=a+b=(1,).若cd,则4+3=0,解得=-,故A错误;若向量c与d的夹角为60,则有4+3=5cos 60,即112+96+39=0,有两个负根,故B错误;若向量c与d的夹角为30,则有4+3=5cos 30,即392-96+11=0,有两个正根,故C错误;若向量c与d共线,则有4=3,解得=0,故选D.10.B解析 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,所以
26、+表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线.因为+=0,所以=,又由 =-得与的夹角为120,所以ABC为等腰非等边三角形,故选B.11.解析 由题意得ab=21=1,则a(a+2b)=a2+2ab=22+21=6,|a+2b|=2,所以cos=,则a与a+2b的夹角为.12.解析 如图所示,设=a,=b,=m,则|=1,OAB=120.m=a+(1-)b(R),A,B,C三点共线.点O到直线AB的距离为|sin 60=,|,|m|的取值范围为,+.13.解:(1) mn=cos A+sin A=2sinA+=2+,sinA+=1.又0A,A=.(2)cos B=,s
27、in B=,由=得b=2,SABC=absin C=2sin(A+B)=(sin Acos B+cos Asin B)=+.14.解:(1)因为ab,所以ab=4sinx+4cos x- =2sin x+6cos x-=4sinx+-=0,所以sinx+=,所以sinx+=-sinx+=-.(2)由(1)知f(x)=4sinx+-,所以由f-=2得sin+=.又0,所以+,又因为,所以+,所以cos+=,所以cos =cos+-=cos+cos+sin+sin=+=.15.A解析 |+|=|-|,所以|+|2|-|2,即(+)2(-)2,所以+2+(-2+),即52+2+52(52-2+52)
28、,则-15.又|=55=25,当且仅当与同向时取等号,因此上式等号不成立,所以的取值范围为-15,25),故选A.16.C解析 M是BC的中点,=(+).O是ABC的外接圆的圆心,=|cosBAO=|2=(2)2=6,同理可得=|2=(2)2=4,=(+)= +=(6+4)=5.故选C.课时作业(二十七)1.A解析 i3+i5=-i+i=0,故选A.2.B解析 因为cos0,所以复数z=cos+isin在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.3.B解析 z=(2+3i)i=-3+2i,所以复数z的实部与虚部之和为-3+2=-1,故选B.4.1+i解析 =1+i.5.解析 由已知得z1+z2=5
29、+i,则|z1+z2|=.6.B解析 由=1得z(1-i)=i,即z=-+i,则复数z的共轭复数为-,故选B.7.A解析 由题意知A(2,6),B(0,-2),则C(1,2),z=1+2i,则|z|=,故选A.8.B解析 由题得z=2+i,所以z1=+i=+i=+i.9.A解析 由z=a+2i得=a-2i,则z=a2+4,所以=|-i|=1a=1.10.C解析 由题意可得=5,则x=4,所以B=-4,4,由于A=N,因此AB=4,故选C.11.B解析 =cos+isin=+i,所以=1,故选B. 12.解析 由题意可得z=-+i,则复数z的虚部为.13.-3解析 因为=1-ai=b+2i(a,bR),所以b=1,a=-2,则a-b=-3.14.3解析 复数z=,则z在复平面内对应的点为,以解得-1a0,所以m=2,故=i,故选A.16.B解析 z=-=sin -icos ,若z为纯虚数,则即=2k+(kZ)或=2k+(kZ).故“复数z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“=+2k(kZ)”的必要不充分条件,故选B.27
