1、第四课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题【例1】(2020届四川五校联考)已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a4时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0时，对于任意的x1，)，不等式f(x)1a2恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a4时，f(x)4ln xx26x，f(x)2x6.令f(x)0，解得x2或0x1.f(x)的单调递增区间为(0，1，2，)(2)令g(x)f(x)a21(x1)，则g(x)f(x)2x(a2)(x1)当01，即0a2时，g(x)0(当且仅当x1时取等号)g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)1，即a2
2、时，g(x)在上单调递减，在上单调递增g(x)mingaln a1，令h(x)xlnx1(x2)，则h(x)lnx.当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增，h(x)h(2)0.g(x)g0恒成立，满足题意综上所述，实数a的取值范围为(2，)名师点津(1)利用分离参数法来确定不等式f(x，)0(xD，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：将参数与变量分离，化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式；求f2(x)在xD时的最大值或最小值；解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min，得到的取值范围(2)不等式恒成立问题的基本类型类型1：任意x，使得f(x)0
3、，只需f(x)min0；类型2：任意x，使得f(x)0，只需f(x)maxk，只需f(x)mink；类型4：任意x，使得f(x)k，只需f(x)maxg(x)，只需h(x)minf(x)g(x)min0；类型6：任意x，使得f(x)g(x)，只需h(x)maxf(x)g(x)max0.|跟踪训练|1已知函数f(x)axxln x(aR)(1)若函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1且kZ时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解：(1)f(x)定义域为(0，)，f(x)aln x1，由题意，知f(x)0在e，)上恒成立，即ln xa10在e，)上
4、恒成立，即a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范围为2，)(2)当a1时，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化为k，即k1恒成立令g(x)，则g(x).令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，h(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在x0(3，4)使h(x0)0，即g(x0)0.即当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由h(x0)x0ln x020，得ln x0x02，g(x)ming(x0)x0(3，4)，k0)(1)若函
5、数f(x)在(1，)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)在(1，)上为减函数，所以f(x)a0在(1，)上恒成立所以当x(1，)时，f(x)max0.又f(x)aa，故当，即xe2时，f(x)maxa，所以a0，故a，所以a的最小值为.(2)“若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa，当xe，e2时，有f(x)maxa，即f(x)maxa，问题等价于：“当xe，e2时，有f(x)min”当a时，f(x)在e，e2上为减函数，则f(x)min
6、f(e2)ae2，故a.当0a时，由于f(x)a在e，e2上为增函数，故f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即.由f(x)的单调性和值域知，存在唯一x0(e，e2)，使f(x0)0，且满足：当x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(x0)ax0，x0(e，e2)所以a，与0a矛盾，舍去综上，实数a的取值范围为a.名师点津存在型不等式成立主要是转化为最值问题，如存在x1，x2a，b使f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max，转化为最值问题求解|跟踪训练|2(2019届贵州适应性考试)已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围解：(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0得xln a.由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0，得f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.令h(x)，则问题转化为ah(x)max，因为h(x)，令h(x)0，则x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)单调递增极大值单调递减由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a.
