1、第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1下面是关于曲线4x2123y2对称性的一些叙述：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于直线yx对称其中正确叙述的个数为()A1 B2 C3 D4解析：曲线方程4x2123y2可化为1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴、y轴、原点对称，将曲线方程中的x换成y，y换成x，得1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线yx对称. 答案：C2曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等 B短轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：两方程都表示椭圆，由方程可知c2
2、都为16，所以焦距2c相等答案：D3椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为()A(13，0) B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)答案：D4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，则c1，e，所以 a2，b，所以 椭圆C的方程是1.答案：D5已知椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m()A. B. C2 D4解析：将椭圆方程化为标准方程为x21
3、.因为焦点在y轴上，所以 1，所以 0m1，由方程得a，b1.因为a2b，所以 m.答案：A二、填空题6设椭圆C：1(ab0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_解析：因为ABx轴，所以点D为F1B的中点，且|AF2|.又ADF1B，所以AF1AB，所以 2a，所以 ，e21，所以 e.答案：7已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e.则长轴长的取值范围为_解析：因为0e，所以 0e2.又因为e21，b1，而01，所以 10，所以 1，所以 1a24，而1a2所以 长轴长2a(2，4答案：(2，48若椭圆1的离心率e
4、，则k的值等于_解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x轴上时，a2k8，b29，得c2k1，又因为e，所以 ，解得k4。当焦点在y轴上时，a29，b2k8，得c21k，又因为e，所以 ，解得k.所以 k4或k答案：4或三、解答题9分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，e，所以 a3，c2.所以 b2a2c2945.所以 椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，
5、且|OF|c，|A1A2|2b，所以 cb3所以 a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.10.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2F1F2，MF1F230.试求椭圆的离心率解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，因为MF2F1F2，所以MF1F2为直角三角形又MF1F230，所以|MF1|2|MF2|，|F1F2|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|MF2|2a，因此|MF1|，|MF2|，所以2c，即，即椭圆的离心率是.B级能力提升1已知点(3，2)在椭圆1上，则()A点(3，2)不在椭圆上B点(3，2)不在椭圆上C点(3，2)在椭圆上D无法判断点
6、(3，2)、(3，2)、(3，2)是否在椭圆上解析：由椭圆的对称性知(3，2)必在椭圆上答案：C2已知AB为过椭圆1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值为()Ab2 Bab Cac Dbc解析：设A的坐标为(x，y)，则根据对称性得B(x，y)则AFB面积S|OF|2 y|c|y|由椭圆图象知，当A点在椭圆的顶点时，其AFB面积最大值为bc.答案：D3椭圆1(ab0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：y2，所以y2axx2.又点P在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，因为xa，x0，所以 x，又0xa，所以 0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a22c2，所以e.又因为0e1，所以 e1.
