1、章末分层突破 自我校对面积、路程做功牛顿莱布尼茨面积体积定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若F(x)f(x)，F(b)F(a).求下列定积分.(1)dx；(2) dx.【精彩点拨】(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】(1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.其面积为222，所以dx2.(2)dxdxdx.，dx.再练一题1.计算下列定积分.(1)dx；(2) (cos x2x)dx.【解】(1)dx
2、dxln xln(x1)ln .(2) (cos x2x)dx2(22).定积分在几何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V求由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】 【规范解答】画出草图，如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组得交点A(1，5)，B(4，20).故所求平面图形的面积S
3、(x245x)dx(5xx24)dx44243444.再练一题2.求曲线ysin x，x0，与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积. 【导学号：94210078】【解】由体积公式Vy2dx(sin x)2dx数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.如图41所示，在区间0，1上给定曲线yx2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.图41【精彩点拨】确定被积函数，积分上、下限，求定积
4、分，并用导数求最值.【规范解答】S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴，直线xt围成的面积.即S1tt2x2dxt3；S2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2，1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1).令S(t)4t22t4t0，得t0或t，易知当t时，S最小，所以最小值为S.再练一题3.(2016潍坊高二检测)如图42，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.图42【解】抛物线yxx2与x轴交点的横坐标分别为x10，x21，所以抛物线与x轴所围成图
5、形的面积为S(xx2)dx.抛物线yxx2与直线ykx交点的横坐标分别为x10，x21k，所以(xx2kx)dx(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.1.(2014陕西高考)定积分(2xex)dx的值为()A.e2B.e1C.eD.e1【解析】 (2xex)dx(x2ex)|e.故选C.【答案】C2.(2014江西高考)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A.1B.C.D.1【解析】f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx，f(x)dx.【答案】B3.(2014湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数.给出三组
6、函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3【解析】f(x)g(x)dxsinxcosxdxsin xdx0，故第组是区间1，1上的正交函数；f(x)g(x)dx(x1)(x1)dx(x21)dx0，故第组不是区间1，1上的正交函数；f(x)g(x)dxxx2dxx3dx0，故第组是区间1，1上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.【答案】C4.(2015湖南高考)(x1)dx_.【解析】(x1)dx2220.【答案】0章末综合测评(四)定积分(时间120分钟，满分150分)一、
7、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为()ABCD【解析】由定积分的几何意义易知选项B正确.【答案】B2.sin xdx()A.1B.2C.2D.0【解析】sin xdxcos x0.【答案】D3.(3x22x3)dx()A.B.2C.D.2【解析】(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx327.【答案】C4.若(23x)dx2(a0)，则a的值为()A.2B.C.2或D.2或【解析】a0，(23x)dx2aa2，由题知2aa22，解得a2.【答案】A
8、5.曲线y26ax，x2a(a0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为()A.2a2B.4a2C.12a3D.14a3【解析】Vy2dx6axdx3ax212a3.【答案】C6.设f(x)则f(x)dx等于() 【导学号：94210079】A.B.C.D.【解析】f(x)dxx2dxdxx3ln x.【答案】A7.由yex，x2，ye围成的曲边梯形的面积是()A.e22eB.e2eC.e2D.e【解析】所求面积为S(exe)dx(exex)e22e.【答案】A8.(2016石家庄高二检测)若dx3ln 2，且a1，则a的值为()A.6B.4C.3D.2【解析】dx(x2ln x)|a2ln a1，故有
9、a2ln a13ln 2，解得a2.【答案】D9.若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】S1x2dxx323，S2dxln xln 2，S3exdxexe2ee(e1)，ln 2ln e1，且2.5e(e1)，所以ln 2e(e1)，即S2S10，所以f(1)lg 10.又x0时，f(x)x3t2dtxt3xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a1.【答案】D11.定积分(x)dx等于()A.B.1C.D.【解析】(x)dxdxxdx.dx表示圆(x1)2y21的上
10、半圆与x1，x0，y0围成的图形面积.画出图形(略)可知S1dx，S2xdx，SS1S2.【答案】A12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5B.825ln C.425ln 5D.450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.若(2xk)dx2，则k_.【解析】(2xk)dx
11、(x2kx)1k2，k1.【答案】114.曲线y24ax，xa(a0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是_. 【导学号：94210080】【解析】由旋转体体积公式可得：Vy2dx4axdx4a2a3.【答案】2a315.设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_.【解析】(ax2c)dxaxc，ax.a0，x，又0x01，x0.【答案】16.曲线yx2和曲线y2x围成的图形的面积是_.【解析】作出两曲线yx2与yx围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积Sdx.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题
12、满分10分)由直线ykx(k0)，直线y0，x1所围成的图形的面积为S1，由曲线y33x2，直线x0，x1，y0所围成的图形的面积为S2，当S1S2时，求k的值及直线的方程.【解】依题意得S1kxdxkx2，S2(33x2)dx(3xx3)2.S1S2，2，解得k4，则直线的方程为y4x.18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线yx2，x0，3，x0及y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.图1【解】根据题意和图形，所求体积V (2)2dy4 ydy4y22.19.(本小题满分12分)计算曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积.【解】由解得x10，x23.因此所求图形
13、的面积为S(x3)dx(x22x3)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.20.(本小题满分12分)求由曲线y，直线yx2以及x轴所围成的平面图形的面积.【解】作出直线yx2，曲线y的草图，所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.可求得直线yx2与曲线y的交点为(4，2).直线yx2与x轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x2左边的图形的面积(记为S1)；另一部分是直线x2右边的图形的面积(记为S2).则SS1S2dxxx.21.(本小题满分12分)设F(x)(t22t8)dt.(1)求F(x)的单调区间；(2)求F(x)在1，3上的最值.【解】
14、依题意，F(x)(t22t8)dtx3x28x，定义域是(0，).(1)F(x)x22x8，令F(x)0，得x2或x4，令F(x)0，得4x2，由于定义域是(0，)，函数的增区间是(2，)，减区间是(0，2).(2)令F(x)0，得x2(x4舍去)，由于F(1)，F(2)，F(3)6，F(x)在1，3上的最大值是F(3)6，最小值是F(2).22.(本小题满分12分)求由曲线yx2，直线y2x3所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】曲线yx2与直线y2x3的交点为A(1，1)，B(3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所得旋转体的体积V等于直线y2x3，x1，x3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V1)减去曲线yx2，直线x1，x3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V2).又V1(2x3)2dx(4x212x9)dx.V2(x2)2dxx4dxx5.所以所求旋转体的体积VV1V2.
