1、学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.如图257，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若CMN90，则异面直线AD1与DM的夹角为()图257A30B45C60D90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1a，C1B1b，C1Cc.则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N.则，.CMN90，0.即b2c20，即b2c2.(0，b，c)b2c20.AD1与DM的夹角为90.【答案】D2.如图258，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()图258
2、A.BC.D【解析】作AO平面BCD于O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB2，则O(0,0,0)，A，C，E，cos，.CE与平面BCD的夹角的正弦值为.【答案】B3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABC，且PAAB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为()A75B60C45D30【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而(0,1，1)，(1,0,0)设平面ABC与平面PC
3、D的法向量分别为n1，n2，取n1(0,0,1)设n2(x，y，z)，由n2，n2，可得，可取n2(0,1,1)于是cos n1，n2，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45.【答案】C4如图259所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()图259A.BC.D【解析】设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，s
4、inn，.tann，.【答案】D5P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么与的夹角大小为()【导学号：32550047】A60B70C80D90【解析】设PMa，PNb，作MEAB，NFAB，则因BPMBPN45，故PE，PF.于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM，FN分别是，内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是与的夹角【答案】D二、填空题6若平面的一个法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为_【解析】平面的法向量为m(3,3,0)，直线l的一个方向向
5、量为b(1,1,1)则cos m，b，sin m，b.l与所成角的余弦值为.【答案】7正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_【导学号：32550048】【解析】建立如图坐标系，设AB1，则D，A(0,0,0)，F(1,0,0)，B(0,1,0)，(1，1,0)cos .【答案】8如图2510所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与AB夹角的余弦值为_，A1C1与平面BB1C1C夹角为_，平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为_图2510【解析】A1CD是A1C与AB的夹角，cosA1CD；A1C1B1是A1C1与面BC1的
6、夹角，A1C1B145；A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，A1BA45.【答案】4545三、解答题9.如图2511，在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB.图2511(1)求证：SCBC；(2)求SC与AB所成角的余弦值【解】(1)证明：如图，取A为原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AS分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有AC2，BC，SB，得B(0，0)、S(0,0，2)、C，.0，SCBC.(2)设SC与AB所成的角为(0，0)，4，|4，cos ，即为所求10如图2512，在三棱柱ABOA1B1O1中，OAOB，且OB3，OA4，BB14，D为A1
7、B1的中点P为BB1上一点，且OPBD.图2512求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值【解】以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)设P(3,0，z)，则，(3,0，z)BDOP，4z0，解得z.BB1平面AOB，是底面AOB的一个法向量，且(0,0,4)sin POB|cos BPO|.直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.能力提升1平面的一个法向量为n1(4,3,0)，平面的一个法向量为n2(0，3,4)，则平面与平面夹角的余弦值为()ABC.D以上都不对【解析】cos n1，n2，平面与平面
8、夹角的余弦值为.【答案】B2已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，则AC与PB所成的角的余弦值为()A.BC.D【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,1,0)，C，P，从而，所以cos ，.【答案】B3正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是_【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0
9、)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，设BC与平面PAC的夹角为，则sin |cos ，n|，30.【答案】304(2014天津高考)如图2513，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点【导学号：32550049】图2513(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【解】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(
10、1)证明：(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cos n，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cos n1，n2，易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.
