1、章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1已知空间直角坐标系中有点A(2,1,3)，B(3,1,0)，则|_.【解析】(5,0，3)，|.【答案】2若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a与b为共线向量，则x_，y_.【解析】由题意得，x，y.【答案】3下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为_空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；平面的法向量垂直于内的每个向量；空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式【解
2、析】若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故错误【答案】4若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_.【解析】由已知得，83(6)，解得2或.【答案】2或5ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A的大小为_【解析】，(1,0,0)，则cos A，故角A的大小为30.【答案】306已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中，真命题是_与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量【解析】四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点，与是一对相反向量，真；，假；如图，设正方形ABCD
3、的中心为O1，正方形A1B1C1D1的中心为O2，则4，4，与是相反向量，真；，与是相反向量，真【答案】7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,3)，B(2,1，1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_【解析】设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得所以点C的坐标为.【答案】8二面角l等于120，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面，内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于_【解析】设a，b，c，由已知条件，|a|1，|b|1，|c|1，a，b90，b，c90，a，c120.|2|2|cba|2a2b2c22
4、ab2ac2bc4，则|2.【答案】29已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取最小值时，点Q的坐标为_. 【导学号：09390091】【解析】由题意可知，故可设Q(，2)，则62161062，当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.【答案】10在空间中，已知平面过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.【解析】平面xOy的法向量为n(0,0,1)，(3，4,0)，(3,0，a)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则则3x4yaz，取z1，则u，故cosn，u.又a0，a.【
5、答案】11空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果是_【解析】如图，延长DE交BC于F，易知F是BC中点，则0.【答案】012已知动点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上一点，记.当APC为钝角时，则的取值范围为_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以(1,1，1)，由题意，可设(，)，连结D1A，D1C，则(1,0，1)，(0,1，1)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)，显然APC不是平角，当APC
6、为钝角时，cosAPCcos，0.由此得出.【答案】13在ABC中，若ACB90，BAC60，AB8，PC平面ABC，PC4，M是AB上一点，则PM的最小值为_【解析】建立如图所示的坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4，0)，P(0,0,4)，设M(x，y,0)，则(x4，y,0)，(4,4，0)，易知，即(4,4，0)(x4，y,0)，得xy40，所以y4x，(x，y，4)(x,4x，4)，|2x2(4x)2164(x3)228，0x4，当x3时，|min2.【答案】214如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距
7、离为_图1【解析】由题图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A(a,0，a)F，E.EFa.【答案】a二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长图2【解】，|.AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，90，60，|.16(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.图3【证明】设a，b，c.则ab0
8、，ac0，bc0.而()c(ab)，ba，()(ab)c，(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0.，A1OBD.同理可证.A1OOG.又OGBDO且A1O平面BDG，A1O平面GBD.17(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.图4(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.【证明】(1)设AC与BD交于点G.EFAG，且EF1，AGAC1，四边形AGEF为平行四边形，AFEG.EG平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连结FG，正方形ABCD和四边形ACEF
9、所在平面互相垂直，且CEAC，CE平面ABCD.如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F，(0，1)，(，0,1)，0110，1010，CFBE，CFDE.又BEDEE，CF平面BDE.18(本小题满分16分)在RtABC中，ACBC1，BCA90，现将ABC沿着与平面ABC垂直的方向平移到A1B1C1的位置，已知AA12，分别取A1B1，A1A的中点P，Q.(1)求的模；(2)求cos，cos，的值，并比较，与，的大小；(3)求证：AB1C1P.【解】(1)以C为原点，
10、建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0，1,2)，A1(1,0,2)，(1，1,1)，(0,1,2)，(1，1，2)，(1,1,2)，|.(2)0121，|，|，cos，.又0143，|，|CB1|，cos，.0，(3)证明：(1,1，2)0，即AB1C1P.19(本小题满分16分)如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.图5(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小. 【导学号：0
11、9390092】【解】如图，设ACBDO，以O为坐标原点，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则A(，0,0)，C(，0,0)，P(，0,2)设BD2a，则B(0，a,0)，D(0，a,0)(1)证明：(2，0，2)，(0,2a,0)由PE2EC，得E，则.所以(2，0，2)0，(2，0，2)(0,2a,0)0，即，.又因为BEBDB，所以PC平面BED.(2)设平面PAB的法向量n(x1，y1，z1)易得(0,0,2)，(，a,0)由得取x11，可得n.设平面PBC的法向量m(x2，y2，z2)易得(，a,0)，(2，0,2)由得取x21，可得m.因为二面角APBC为90，
12、所以mn0，即1100，解得a.所以(，2)，平面PBC的一个法向量为m(1，1，)，所以PD与平面PBC所成角的正弦值为，所以PD与平面PBC所成角的大小为.20(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点图6(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长【解】(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a
13、,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10.B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)由得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，即az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在一点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1.AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与平面B1AE的法向量n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30.|cos |cos 30，即，解得a2，即AB的长为2.
