1、第三章 直线与方程 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 直线的倾斜角与斜率【例 1】(1)如图所示，直线 l1 的倾斜角 130，直线 l1 与 l2垂直，求 l1，l2 的斜率(2)已知某直线 l 的倾斜角 45，又 P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求 x2，y1 的值解(1)由图形可知，2190，则 k1，k2 可求直线 l1 的斜率 k1tan 1tan 30 33.直线 l2 的倾斜角 29030120，直线 l2 的斜率 k2tan 120 3.(2)由 45，故直线 l 的斜率 ktan 451，又 P1，P2，
2、P3 都在此直线上，故 kP1P2kP2P3kl，即5y1x22153x21，解得 x27，y10.求直线的倾斜角与斜率注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与 x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围(2)当直线的倾斜角 0，90)时，随着 的增大，直线的斜率 k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着 的增大，直线的斜率 k 为负值且逐渐变大跟进训练1(1)若三点 A(3，1)，B(2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数 b 等于_(2)如果直线 l1 的倾斜角是 150，l2l1，垂足为 B.l1，l2 与 x 轴分别相交于点
3、 C，A，l3 平分BAC，则 l3 的倾斜角为_(1)9(2)30(1)A，B，C 三点共线，kABkAC.b12311183，即 b9.(2)因为直线 l1 的倾斜角为 150，所以BCA30，所以 l3 的倾斜角为12(9030)30.直线五种形式的方程的应用【例 2】已知ABC 中，A(1，3)，AB，AC 边上中线方程分别为 x2y10 和 y10，求ABC 各边所在的直线方程.思路探究：本题利用中线的特殊点(即 AB 的中点 D 在 AB 边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程解 设 AB，AC 边的中线分别为 CD，BE，其中 D，E 为中点，点 B 在中
4、线 y10 上，设点 B 的坐标为(xB，1).点 D 为 AB 的中点，又点 A 的坐标为(1，3)，点 D 的坐标为xB12，2.点 D 在中线 CD：x2y10 上，xB122210，xB5.点 B 的坐标为(5，1).点 C 在直线 x2y10 上，设点 C 的坐标为(2t1，t).AC 的中点 E 的坐标为t，t32.点 E 在中线 BE：y1 上，t32 1，t1.点 C 的坐标为(3，1)，ABC 各边所在直线的方程为 AB：x2y70，BC：x4y10，AC：xy20.求直线方程的方法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件
5、灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单跟进训练2过点 P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为 x1，x0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 yk(x1)，ykx2.令 y0，分别得 x1，x2k.由题意得12k 1，即 k1.则直线的方程为 yx1，yx2，即 xy10，xy20综上可知，所求的直线方程为 x1，
6、x0，或 xy10，xy20.两条直线的位置关系【例 3】已知两条直线 l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的 a，b 的值(1)直线 l1 过点(3，1)，并且直线 l1 与直线 l2 垂直；(2)直线 l1 与直线 l2 平行，并且坐标原点到 l1，l2 的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即 a2ab0，又点(3，1)在 l1 上，3ab40.由解得 a2，b2.(2)l1l2 且 l2 的斜率为 1a，l1 的斜率也存在，ab1a，即 b a1a.故 l1 和 l2 的方程可分别表示为l1：(a1)xy4（a1）a0，l2：(a1)xy a1a0
7、.原点到 l1 与 l2 的距离相等，4a1aa1a，解得 a2 或 a23.因此a2，b2或a23，b2.两条直线的位置关系的判断方法及注意点(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况跟进训练3已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)l1l2 时，求 a 的值解(1)若 l1l2，则a（a1）210，a（a21）610.a1.a1
8、时，l1l2.(2)当 l2 的斜率不存在时，a1.则 l2：x0，l1：x2y60.显然 l1 与 l2 不垂直当 l2 斜率存在时，a1.则 k2 11a，k1a2.l1l2，k1k2 11aa2 1.a23.距离公式的应用【例 4】已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点(1)点 A(5，0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 2xy5(x2y)0,即(2)x(12)y50，所以|1055|（2）2（12）23，即 22520，所以 12或 2.所以 l 的方程为 x2 或 4x3y
9、50.(2)由2xy50，x2y0，解得交点 P(2，1)，过 P 作任一直线 l(图略)，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d|PA|(当 lPA 时等号成立).所以 dmax|PA|10.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力跟进训练4若 P、Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为()A95 B185 C2910 D2
10、95C 因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120化为 6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|6282 2910，所以|PQ|的最小值为2910.探究问题1怎样求点关于点的对称点？提示 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解2怎样求点关于直线的对称点坐标？提示 设出所求点坐标(x,y)，利用中点坐标公式建立关于 x,y的第一个方程，再利用垂直关系建立 x,y 的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解对称问题【例 5】光线通过点 A(2,3)，在直线 l：xy10 上反射，反射光线经过点 B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直
11、线的方程解 设点 A(2，3)关于直线 l 的对称点为 A(x0，y0)，则2x023y0210，y03x021.解之得，A(4，3).由于反射光线经过点 A(4，3)和 B(1，1)，所以反射光线所在直线的方程为y1(x1)1314，即 4x5y10.解方程组4x5y10，xy10，得反射点 P23，13.所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)313223，即 5x4y20.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为 5x4y20；4x5y10.1点关于直线对称的点的求法点 N(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点M(x，y)可由方程组yy0 xx0AB 1（AB0）Axx0
12、2Byy02C0求得2直线关于直线的对称的求法求直线 l1：A1xB1yC10 关于直线 l：AxByC0 对称的直线 l2 的方程的方法是转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1和 P2，求出 P1，P2 关于直线 l 的对称点，再用两点式求出 l2 的方程跟进训练5已知 A(3，1)，B(5，2)，点 P 在直线 xy0 上，若|PA|PB|取最小值，求点 P 的坐标解 点 A(3，1)关于直线 xy0 的对称点为 A(1，3)，连线 AB 与直线 xy0 的交点，即为所求的点，直线 AB 的方程为 y32351(x1)，即 y14x134，与 xy0 联立得 x135，y135.故点 P135，135.Thank you for watching!
