1、三角形解的个数的判定【例1】在ABC中，若a18，b24，A44，则 此 三 角 形 解 的 情 况 为_sinsin44sin4522412 218242sinbAbbbAab 因为，所以，所以此三角形【解析】有两解已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：absinA absinA bsinAac2，C为直角a2b2c2，C为钝角a2b2c2.4sin()sinsincos.2212ABCABCABCABC特别提醒：求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：，求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化5解三角形常见类型及解法在三
2、角形ABC的六个元素(三个角A、B、C，三条边a、b、c)中要知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如：a，B，C)正弦定理由ABC，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如：a，b，C)正弦定理余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC求另一角在有解时只有一解三边(如：a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC求出角C；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如：a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.
3、可有两解、一解或无解6.应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤：(1)理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)依据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理解三角形，从而得到数学模型的解；(4)检验上述所求的解是否具有实际意义，从而最终得出实际问题的解7解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐
4、步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解1(2010江苏卷)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已经测得一组，的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？tan.tan.tantan,tantantantan4 1.24124.tantan1.241.20124.1HHADADHhABBDHH
5、hADABDBhHHm由，得同理，因为，故得解得 因此，算出的电视塔的高度 是【解析】tan,tan,tantantan()1tantan,()21HdABdHhHhADDBdHHhhddHHhH Hhdddd由题设知，得()2(),()125 121 55 555 5tan()002255 555 5.H HhdH HhddH Hhdddm因 当且仅当 时，取等号故当 时，最大因为，则，所以，当 时，最大故所求的 是选题感悟：本题主要考查解三角形，考查三角与其他知识的综合，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力 2.(cos()1)(1cos)3.21sin sin22ABCab
6、cABCbacACBACABCmnm n在中，、分别是角、所对的边，且 向量，和 ，满足求的值；求证：三角形为等边三角形(2010南通一模卷)33cos()cos.22()3cos()cos(),23cos cossin sin(cos cossin sin),23sin41sin.ACBBACACACACACACACACm n由，得又 ，故得即所以解【析】2222222222222sinsin sin3sin.43111cos1cos.442231coscos()0cos.2232cos2.3bacBACBBBBACBBbacacBbacacbacacacacacBABC证明：由 及正弦定理
7、得，故于是 ，所以 或因为，所以，故 由余弦定理得 ，即 又，所以 ，得 因为 ，所以三角形为等边三角形选题感悟：本题既考查了三角恒等变形的能力，又考查了平面向量的数量积和正、余弦定理的灵活运用这类题是近几年高考的热点3(2010海门期末卷)某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段若要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A、B两站之间的距离最短？并求最短距离222222.1352cos135222(22).1110sin13510 22210 2(22)20(2 1)10 42 2AOBOAaOBbAOOBAOBABabababababababABababABABABABabAB在中，设，因为为正西方向，为东北方向，所以，则 又，所以，所以，所以 当 时，上式【解取等号所以把站、分别设在公路析】上离市中心10 42 2km20(2 1)km.OAB都是才能使、两站之间的距离最短，且最短距离为选题感悟：在高考中，正、余弦定理每年均有考查，以解三角形为背景的实际问题，也是高考的重点之一
