1、四川省成都市青白江区南开为明学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共12题60分）1.若复数满足（是虚数单位），则的虚部为( )A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求得，由此求得的虚部.【详解】依题意，所以的虚部为.故答案为：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的虚部，属于基础题.2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由，解得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概
2、念和运算，属于基础题.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计
3、算的，属于基础题型.4.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. -4B. 0C. 4D. 8【答案】D【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题5.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】分析：利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，求出
4、，从而求出的值详解：由有，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.点睛：本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题在等差数列中，若，且 ，则6.已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长详解：根据 ，求出曲线C的普通方程为，圆心到直线的距离，所以弦长 ，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题7.已知函数则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法
5、进行求解即可【详解】解：，（1），故选【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键属于基础题8.中，角，的对边分别为若向量，且，则角的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解【详解】由得，由正弦定理得，化为，即，由于，又，故选【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程 (万公里)与维修保养费用 (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得与的线性回归方程为.由于工作人员疏忽，
6、行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.行驶里程 (单位:万公里)12458维修保养费用 (单位:万元)0500.902.32.7则被污损的数据为（ ）A. 3.20B. 3.6C. 3.76D. 3.84【答案】B【解析】分析：分别求出行驶里程和维修保养费用的平均值，线性回归方程经过样本的中心点，这样求出被污损的数据详解：设被污损的数据为，由已知有，而线性回归方程经过点，代入有，解得，选B.点睛：本题主要考查了线性回归方程恒过样本的中心点，属于容易题回归直线方程一定经过样本的中心点，根据此性质可以解决有关的计算问题10.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B
7、. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案【详解】解：若在取得极小值，令，得或当时，故在上单调递增，无最小值；当时，故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增故在处取得极小值综上，函数在处取得极小值 “”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件故选【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题11.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结
8、构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得开始故选【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题12.设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点数形结合求出的范围详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合 ，综上，选A.点睛：本题主要考查函
9、数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题画出这两个函数的图象是解题的关键 第卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共4题20分）13.已知曲线：（为参数）若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线为参数）上任意点到直线的距离，当时，故答案为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型14.已知是定义在上的奇函数
10、，其导函数为，且当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】令，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集【详解】令，则，所以在上为单调递增，且，所以，解得由是定义在上的奇函数得，所以在为偶函数，且所以不等式的解集为，故答案为【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键15.已知为等差数列，为其前n项和，若，则_.【答案】6【解析】试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，所以故答案为6【考点】等差数列基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量，中，已知其中三个量，可以
11、根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.16.已知数列中，则_.【答案】【解析】【分析】根据递推关系式得到数列的周期性，由此求得.详解】依题意，则.所以，.所以数列是周期为的周期数列.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.三、解答题（共6题，共70分）17.已知函数，其导函数的图象关于轴对称，（）求实数的值；（）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】【分析】（）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（）问题等价于方程有三
12、个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（）.函数的图象关于轴对称，.又，解得.，.（）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.由（），得.令，解得.当或时，在，上分别单调递增.又当时，在上单调递减.的极大值为，极小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题18.在中，内角，所对的边分别是，已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用正弦定理边弦的关系，将转化为，结合已知条件，求得b值；根据cos
13、B的值，求sin2B,cos2B的值，结合余弦两角和公式，求的值【详解】解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，解得（2），则，【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值，属于中等题.19.在中，内角的对边分别为，且.（）求角的大小；（）若，的面积为，求的值.【答案】（）；（）4.【解析】【分析】（）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（）利用三角形的面积求得，结合余弦定理列方程，化简求得.【详解】（）由，由正弦定理： 有： ，而，.（）由即： （1） 在中，由余弦定理：即： （2）（1）代入（2）得：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考
14、查三角形的面积公式，属于中档题.20.已知数列满足：.（）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）证明见解析，；（）.【解析】【分析】（）利用配凑法证得数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.（）求得的通项公式，利用裂项求和法求得.【详解】（）由已知，数列满足：. 是以为首项，2为公比的等比数列. 即： （）由（）知： .【点睛】本小题主要考查递推关系求通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.21.已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有唯一零点，求的值【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点
15、斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于方程有唯一的解时，求的值令，求得的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得的值；【详解】解：（1）当时，所以，所以又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值令，则令，则，在上单调递减又，当时，即，在上单调递增；当时，即，在上单调递减的极大值为当时，；当时，又，当方程有唯一的解时，综上，当函数有唯一零点时，的值为1【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（）求曲线的直角坐标方程；（）若曲线与曲线交于两点，求的值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程（）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，设对应的值分别为，利用韦达定理可得，最后利用弦长公式计算可得；【详解】解：（）即（）由题意，联立得 设对应值分别为，则 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.