1、第四节数列求和最新考纲考情分析核心素养1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决与前n项和相关的问题.数列分组求和、错位相减求和、裂项相消求和仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是以解答题为主，分值为12分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1等差数列的前n项和公式Snna1d2等比数列的前n项和公式Sn3数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法如果一个数列的各项是
2、由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解常用结论1一些常见的前n项和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn2n.2常用的裂项公式(1).(2).(3).3使用
3、裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得()答案：(1)(2)(3)二、走进教材2(必修5P47B4改编)在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A2 018B2 019C2 020D2 021答案：B3(必修5P56例1改编)在等比数列an中，若a127，a9(q0
4、)，Sn是其前n项和，则S6_答案：三、易错自纠4(2019届天津红桥检测)已知数列an的前n项和Snn26n，则数列|an|的前n项和Tn等于()A6nn2Bn26n18CD解析：选C由Snn26n得an是等差数列，且首项为5，公差为2，an5(n1)22n7，当n3时，an3时，an0，Tn(a1)(a2)(a3)a4anSn2S3n26n18.Tn5已知数列an中，a11，an1(1)n(an1)，记Sn为an的前n项和，则S2 017_解析：由a11，an1(1)n(an1)，可得该数列是周期为4的数列，且a11，a22，a31，a40，所以S2 017504(a1a2a3a4)a15
5、04(2)11 007.答案：1 0076若数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_解析：Sn121222323n2n，2Sn122223324n2n1，得Sn12122332nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12【例1】(2019届南昌市重点中学测试)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a11，b12，a2b27，a3b313.(1)求an和bn的通项公式；(2)若cn求数列cn的前2n项和S2n.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q(q0)，依题意有解得所以an2n1，bn2n.(2)由已知得c2n1a2n14
6、n3，c2nb2n4n，所以数列cn的前2n项和S2n(a1a3a2n1)(b2b4b2n)2n2n(4n1)名师点津分组转化法求和的常见类型提醒某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论|跟踪训练|1(2019届焦作模拟)已知an为等差数列，且a23，an前4项的和为16，数列bn满足b14，b488，且数列bnan为等比数列(1)求数列an和bnan的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差为d，因为a23，an前4项的和为16，所以解得所以an1(n1)22n1.所以a42417.设bn
7、an的公比为q，则b4a4(b1a1)q3，因为b14，b488，所以q327，解得q3，所以bnan(41)3n13n.(2)由(1)得bn3n2n1，所以Sn(332333n)(1352n1)(3n1)n2n2.【例2】(2020届合肥调研)已知在等差数列an中，a212，a524，数列bn满足b14，bn1bnan(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求使得成立的最小正整数n的值解(1)设等差数列an的公差为d，则a5a23d12，解得d4，ana2(n2)d4n4，bn1bn4n4，bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)48124(n1)42n22n(n1)，b14
8、也适合an4n4，bn2n22n(nN*)(2)由(1)得，11，即，解得n16，满足条件的最小正整数n的值为17.名师点津利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.|跟踪训练|2(2019届安徽模拟)已知数列an满足a11，an12an1.(1)证明：an1是等比数列，并求an的通项公式；(2)求证：1.证明：(1)由an12an1，得an112(an1)又a112，所以an1是首项为2，公比
9、为2的等比数列所以an12n，因此an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，于是1，所以62成立的正整数n的最小值解(1)设数列an的公比为q，由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bnanlogan2nlog2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，则2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12.由2n1262，得n5，n的最小值为6.名师点津解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决|跟踪训练|(2019届新疆昌吉月考)在1和17之间插入n2(n4，nN*)个数，使这n个数成等差数列若这n2个数中第一个为a，第n2个为b，当取最小值时，n的值为()A6B7C8D9解析：选D由已知得a0，b0，ab18，则(2610)2，当且仅当b5a时取等号，此时a3，b15，所以等差数列的公差d312，所以1712(n1)，解得n9.故选D
