1、第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题最新考纲考情分析核心素养1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现分值为5分.1.直观想象2.数学运算知识梳理1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC
2、0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于变量x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标
3、函数的最大值或最小值问题常用结论1判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把AxByC0或AxByCkxb或ykxb，则区域为直线AxByC0上方(2)若y0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(5)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修5P86
4、T3改编)不等式组表示的平面区域是()答案：B3(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z2xy1的最大值、最小值分别是()A3，3B2，4C4，2D4，4答案：C三、易错自纠4不等式组所表示的平面区域的面积等于()ABCD解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示解得A(1，1)，易得B(0，4)，C，则|BC|4.所以SABC1.5已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax(aR)取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围是()A(1，)B1，)C(2，)D2，)解析：选A作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a0时，直线yaxz在点(1，
5、3)处不可能取得最大值；当a0时，目标函数zyax要在(1，3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a1，故选A|题组突破|1不等式组表示的平面区域的面积为()A4B1C5D无穷大解析：选B作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则ABC的面积为S(21)21.2(2019届漳州调研)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mxym10分为面积相等的两部分，则m()AB2CD2解析：选A由题意可画出可行域为ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示联立可行域边界所在直线方程，可得A(1，1)，B，C(4，6)因
6、为直线l：ym(x1)1过定点A(1，1)，直线l将ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，将D代入mxym10，解得m，故选A3不等式组所表示的平面区域内的整点个数为()A2B3C4D5解析：选C由不等式2xy6得y0，y0，当x1时，0y4，则y1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x2时，0y0)的最小值为13，则实数k()A7B5或13C5或D13解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A，B，由题意可知直线zxky(k0)过点A或B时，z取得最小值，所以k13或k13，解得k5或k.答案C名师点津求解的关键在于抓住目标函数
7、的斜率结合图形分析最值点的位置命题角度四线性规划的实际应用【例4】某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式该市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A，B两种型号的宝马轿车，已知A，B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆，根据要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A，B两种型号的轿车至少各租用1辆，则租车所需的租金最少为_元解析设分别租用A，B两种型号的轿车x辆、y辆，所需的总租金为z元，则z600x1 000y，其中x，y满足
8、不等式组作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yx，由图可知，当直线yx过点C时，目标函数z取得最小值由解得C(5，1)，所以总租金z的最小值为60051 00014 000(元)答案4 000名师点津解答线性规划实际问题的3步骤|跟踪训练|1(2019年天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为()A2B3C5D6解析：选C画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线4xy0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值由可得所以点A的坐标为(1，1)，故zmax4(1)15.2已知实数x，y满足约束条件若zmxy(m0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则
9、m的值为()A1B3C2D4解析：选A作出可行域如图中阴影部分所示，因为zmxy(m0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，所以由图可知m1.故选A3(2019届黄冈质检)设实数x，y满足则的取值范围是()ABCD解析：选B由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示易知A(2，0)，联立解得故B(2，6).的几何意义为可行域内的点与点P(3，1)连线的斜率因为kPA，kPB1，数形结合知，的取值范围是.【例】(2020届惠州调研)关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小
10、于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计的值如果统计结果是m34，那么可以估计的值为()ABCD解析由题意，120对正实数对(x，y)中的x，y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.若正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为，则，故选B答案B名师点津线性规划问题常与直线与圆、几何概型、平面向量、命题判断等知识交汇考查，综合性强，考查知识内容多，求解时一是要注意数形结合思想的运用，二是要注意逻辑推理与数学运算的培养|跟踪训练|记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则当APB的值最大时，cosAPB()ABCD解析：选D作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使APB最大，则OPA最大因为sinOPA，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可由图象可知当OP垂直直线4x3y100时，|OP|最小，此时|OP|2.设APB，则APO，即sin ，所以cos 12sin2121，即cosAPB.故选D
