1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.函数的奇偶性一知识点1定义:设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意A，都有，称y=f(x)为偶函数。设y=f(x) ，定义域为A，如果对于任意A，都有，称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。2.性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数
2、之和奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3函数奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称；看f(x)与f(-x)的关系；二例题选讲例1判断下列函数的奇偶性(1) ； (2) ; (3) ; (4) 解：（1）定义域为，对称于原点，又，为奇函数（2）由得定义域为，关于原点不对称，所以没有奇、偶性。（3）由且得定义域为，对称于原点，得，知是奇函数（4）定义域为，对称于原
3、点，当时，所以当时，所以，故是奇函数例2已知g(x)为奇函数，且f(-3)=，求f(3)；解：，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：；变式：已知函数f(x)，当x0时，f(x)=x2+2x-1 若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。 若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。 解： 可确定: 不可确定:处没有定义；例3函数的定义域为D=，且对于任意的，都有 ；（1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明；（3）如果，且在上是增函数，求的取值范围。 解：（1）令可得：（2）令可得：；再令可得：； 所以：为偶函数（3）， 原不等式可化为：又在上是增函数 解得：或或变
4、式一：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0 ；求证：f(0)=1；求证：y=f(x)是偶函数；证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) f(0)0 f(0)=1；令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)；f(-y)=f(y) ； y=f(x)是偶函数；变式二：设函数是奇函数，且当时是增函数，若f(1)=0，求不等式的解集；解：由可得：，由前一不等式可解得；由后一不等式可解得： ，故原不等式的解集为：例4已知函数是奇函数，（1）求m的值；（2）当时，求的最大值与最小值。解：（1）因为是奇函数，所以，即，得m=0 (2) 因为， 当p0时，知在上是减函数，在上是增函数；（A） 当时，在上是增函数，（B） 当时，是在上的一个极小值点，且；（C） 当时，是在上的一个极小值点，且f(1)f(2)，（D） 当时，在上是减函数，；三、作业：P16走向高考：8w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 6 - 版权所有高考资源网
