1、第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点)2会根据已知条件求圆的标准方程(重点、难点)3能准确判断点与圆的位置关系(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的基本要素是 和 ，如图所示定点定长圆心半径(3)圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程是 当 ab0 时，方程为 x2y2r2
2、，表示以 为圆心、半径为 r 的圆(xa)2(yb)2r2原点 O思考：平面内确定圆的要素是什么？提示 圆心坐标和半径2.点与圆的位置关系设点 P 到圆心的距离为 d，半径为 r.d 与 r 的大小点与圆的位置 dr点 P 在圆外D 由圆的标准方程可得圆心为(2，3)，半径为 2.1圆(x2)2(y3)22 的圆心和半径分别是()A.(2，3)，1 B(2，3)，3C.(2，3)，2D(2，3)，2B 以原点为圆心，2 为半径的圆，其标准方程为 x2y24.2以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是()A.x2y22B.x2y24C.(x2)2(y2)28D.x2y2 2A m22524，点
3、P 在圆外3点 P(m，5)与圆 x2y224 的位置关系是()A.在圆外B在圆内C.在圆上D不确定(x2)2y210 因为点(1，1)在圆(x2)2y2m 上，故(12)212m，m10.即圆的方程为(x2)2y210.4点(1，1)在圆(x2)2y2m 上，则圆的方程是_合 作 探 究 释 疑 难 求圆的标准方程【例 1】求过点 A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线 xy20 上的圆的方程思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐
4、标和半径，从而求方程解 法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知（1a）2（1b）2r2，（1a）2（1b）2r2，ab20，解此方程组，得a1，b1，r24.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点 C 为圆心，点 C 在直线 xy20 上，可设点 C 的坐标为(a，2a).又该圆经过 A，B 两点，|CA|CB|.（a1）2（2a1）2（a1）2（2a1）2，解得 a1.圆心坐标为 C(1，1)，半径长 r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0，0)，kAB1（1）111，所以弦 AB 的垂
5、直平分线的斜率为 k1，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y01(x0)，即 yx.则圆心是直线 yx 与 xy20 的交点，由yx，xy20，得x1，y1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（11）21（1）22，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a，b)及半径 r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于 a，b，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷跟进训练1求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过
6、点(2，2)；(2)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，4)；(3)以点 A(3，2)，B(5，4)为直径两端点的圆的方程解(1)r2(24)2(20)28，圆的标准方程为(x4)2y28.(2)设圆心为 C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0 或 b8，圆心为(0，0)或(0，8)，又 r5，圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225.(3)|AB|（35）2（24）210.半径 r5.又圆心坐标为352，242，即(1，1).所以圆的标准方程为(x1)2(y1)225.点与圆的位置关系【例 2】已知圆心为点 C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点 P1
7、(1，0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系解 因为圆心是 C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径 r（30）2（40）25，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为|P1C|（13）2（04）2 4162 55，所以 P3(3，4)在圆外1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围跟进训练2已知点 A(1，2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2 的内部，求实数 a 的取值范围解 由题意，
8、点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a52.a0，a 的取值范围为52，0(0，).与圆有关的最值问题探究问题1怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？提示 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值2若点 P(x,y)是圆 C：(x2)2(y2)21 上的任一点，如何求点 P 到直线 xy0 的距离的最大值和最小值？提示 可先求出圆心(2，2)到直线 xy0 的距离，再将该距离加上或减去圆的半径 1，即可得距离的最大值和最小值【例 3】已知 x 和 y 满足(x1)2y214，试求 x2y2 的最值思路探究：
9、首先观察 x、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值解 由题意知 x2y2 表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点 O(0，0)到圆心 C(1，0)的距离 d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为 11232，最小距离为 11212.因此 x2y2 的最大值和最小值分别为94和14.1本例条件不变，试求yx的取值范围解 设 kyx，变形为 ky0 x0，此式表示圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率，由 kyx，可得 ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即|k|k2112，解得 33
10、 k 33.即yx的取值范围是 33，33.2本例条件不变，试求 xy 的最值解 令 yxb 并将其变形为 yxb，问题转化为斜率为1 的直线在经过圆上的点时在 y 轴上的截距的最值当直线和圆相切时在 y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|1b|212，解得 b 22 1，即最大值为 22 1，最小值为 22 1.3本例条件不变，求圆上点 P 与 A(3，0)、B(0，3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值解|AB|（3）2（3）23 2.圆心(1，0)到直线 AB：yx3 的距离为d 22 2，圆(x1)2y214的半径为12，点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值分别为 212
11、，212.SPAB 的最大值和最小值分别为：(SABP)max123 2212 123 24，(SPAB)min123 2(212)123 24.与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如 uybxa形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题(2)形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 yab xlb截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题课 堂 小 结 提 素 养 1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r的方程组求 a，b，r 或直接求出圆心(a，b
12、)和半径 r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2判断点(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的关系的方法：假设点(x0，y0)与圆心的距离为 d，则dr(x0a)2(y0b)2r2在圆外；dr(x0a)2(y0b)2r2在圆上；dr(x0a)2(y0b)2r2在圆内3与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养A 由题意，圆的半径 r（03）2（40）25，则圆的方程为 x2(y4)225.1圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为()A.x2(y4)225 Bx2(y4)225C.(x4)2y225 D
13、(x4)2y225B 圆 x2y22x4y0 的圆心为(1，2).由条件知，(1，2)适合于方程 3xya0，所以32a0，解得 a1，故选 B.2若直线 3xya0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 a 的值为()A.1 B1C.3 D3(x2)2y24 由题意知，圆心是(2，0)，半径是 2，所以圆的方程是(x2)2y24.3经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是_0，1)由于点在圆的内部，所以(5 a11)2(a)226，即26a26，又 a0，解得 0a1.4点(5 a1，a)在圆(x1)2y226 的内部，则 a 的取值范围是_解 易知ABC 是直角三角形，B90，所以圆心是斜边 AC 的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即 r 5，所以外接圆的方程为(x2)2(y2)25.5ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求ABC 的外接圆方程点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
