1、广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编15：抛物线一、选择题 （广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版）设抛物线的顶点在原点,准线方程为则抛物线的方程是（）ABCD 【答案】【解析】抛物线的准线方程为,抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y则其准线方程为 解得 抛物线的标准方程为y.故选.中 学 学 科 网 Z X X K （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（）ABCD【答案】D 双曲线的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则. （广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）若
2、抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )（）A-2B2C-4D4【答案】【解析】椭圆的右焦点为,即,故选中 学 学 科 网 Z X X K （广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,又点则的最小值是（）ABCD【答案】B二、填空题 （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点,且经过抛物线的焦点,则圆C的方程为_. 【答案】 或; 易得圆心坐标为,半径为, 故所求圆的方程为【或. 】 （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线上一点P
3、到焦点的距离是,则点P的横坐标是_. 【答案】 （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P在抛物线y2=4x 上,那么使得点P到定点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和最小的点P的坐标为_【答案】 （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽_米.【答案】 中 学 学 科 网 Z X X K三、解答题 （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线,直线与抛物线交于两点,与交于点.(1)求点的轨迹方程;求四边形的面积的最小
4、值.【答案】(本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设, , 是线段的中点 , . , . 依题意知, . 把、代入得:,即 点的轨迹方程为 (2)解:依题意得四边形是矩形, 四边形的面积为 ,当且仅当时,等号成立, 四边形的面积的最小值为 解法二: (1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为, 由于,则直线的斜率为 故直线的方程为,直线的方程为. 由 消去,得. 解得或 点的坐标为 同理得点的坐标为 , 是线段的中点 设点的坐标为, 则 消去,得 点
5、的轨迹方程为 (2)解:依题意得四边形是矩形, 四边形的面积为 当且仅当,即时,等号成立 四边形的面积的最小值为 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）(本小题满分分)设抛物线的焦点为,是抛物线上的一定点.(1)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点, 为的准线上一点,若的面积为,求的值;(2)过点作倾斜角互补的两条直线,与抛物线的交点分别为.若直线,的斜率都存在,证明:直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力)
6、解: (1)由题设,设则 . 由的面积为,得:,得: (2)由题意 首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. 解法一:设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为 联立 得 将代入上式得: 即 即 得 即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 解法二:由得, 抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 再求直线的斜率. 解法一:设直线的斜率为,则由题意直线的斜率为 直线的的方程为,则直线的的方程为. 联立 得(1) 方程(1)有两个根, ,即,同理可得 直线的 斜率 直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率 解法二: 将分别代入上式得:, 整理得 直线的 斜率 直线
7、的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版）经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点、在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点、.(1)求轨迹的方程;(2)证明:;(3)若点到直线的距离等于,且的面积为20,求直线的方程.【答案】(本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解:(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得, 整理,得.所以轨迹的方程为 方法2:设
8、动圆圆心为,依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线 且其中定点为焦点,定直线为准线. 所以动圆圆心的轨迹的方程为 (2)由(1)得,即,则. 设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为 ABCDOxylE由题意知点.设点, 则,即 因为, 由于,即 所以 (3)方法1:由点到的距离等于,可知 不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为:. 由 解得点的坐标为 所以. 由(2)知,同理可得 所以的面积, 解得 当时,点的坐标为, 直线的方程为,即 当时,点的坐标为, 直线的方程为,即 方法2:由点到的距离等于,可知 由(2)知,所以,即. 由(2)知,
9、. 所以. 即. 由(2)知. 不妨设点在上方(如图),即,由、解得 因为, 同理 以下同方法1. （2013广东高考数学（理）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程;() 当点为直线上的定点时,求直线的方程;() 当点在直线上移动时,求的最小值.【答案】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为, 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为. () 由
10、抛物线定义可知, 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以 又点在直线上,所以, 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为. （广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试数学（理）试题）如图所示:已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点.(1)求证:以AF为直径的圆与x轴相切;(2)设抛物线在A,B两点处的切线的交点为M,若点M的横坐标为2,求ABM的外接圆方程;(3)设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D,是否存在直线使得,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.中 学 学 科 网 Z X X K【答案】【解析】(1)解法一(几何法)设
11、线段AF中点为,过作垂直于x轴,垂足为,则 , 又, 以线段AF为直径的圆与x轴相切 解法二(代数法)设,线段AF中点为,过作垂直于x轴, 垂足为,则, 又点为线段AF的中点, , 以线段AF为直径的圆与x轴相切 (2)设直线AB的方程为, 由 , 由, , ,故的外接圆圆心为线段的中点. 设线段AB中点为点P,易证P与抛物线的准线相切,切点为点M , 又, (3),设,10分 则 ,设,则 将代入可得: . 由, 联立可得, 联立可得 ,解得. 中 学 学 科 网 Z X X K（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）如图(6)已知抛物线的准线为,焦点为F,圆M的圆
12、心在x轴的正半轴上,且与y轴相切.过原点作倾斜角为的直线t,交于点A,交圆M于点B,且.(1)求圆M和抛物线C的方程;(2)设是抛物线上异于原点的两个不同点,且,求面积的最小值;(3)在抛物线上是否存在两点关于直线对称?若存在,求出直线 的方程,若不存在,说明理由.tlyXOMFBA【答案】 解:(1),即, 所求抛物线的方程为 设圆的半径为r,则,圆的方程为 (2) 设,由得 , ,= =256 ,当且仅当时取等号, 面积最小值为 (3) 设关于直线对称,且中点 在抛物线上, 两式相减得: , 在上 ,点在抛物线外 在抛物线上不存在两点关于直线对称 （广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试
13、数学理试题 ）已知抛物线:,过焦点的动直线交抛物线于、两点,为坐标原点.(1)求证:为定值;(2)设是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点,证明:抛物线在点处的切线与平行.【答案】(1)设直线的方程为:,. - 由得:, - 为定值- (2)由(1)得:点的横坐标为,点的横坐标为- - 平行 另解:设,则, - 设抛物线在点处的切线为 由得: - ,解得: - 平行 （2013届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P在x轴上方与圆F:外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N,是否存在
14、使得(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求ABR面积的最小值. 【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知 . 即圆心P的轨迹C的方程为 (2)设, 由得直线AM的斜率 直线BM的斜率 直线AM的方程为- 直线BM的方程为- 由消去y得 ,在抛物线上 即点M的横坐标,又点N的横坐标为也为 MN/y轴,即与共线 存在使得 (3)设点B的坐标为,则轨迹C的切线BM的方程为 可得R的坐标为, 直线BA的方程为,由可得点A的坐标为 = 是关于的偶函数,只须考虑的情况, 令()则,令解得 当时,当时, 当且仅当时,取得最小值 （2009高考(广东理)）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.c.o.m （2）若曲线与有公共点，试求的最小值xAxBD【答案】解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.
