1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 等差数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.等差数列的概念,B级要求;2.等差数列的通项公式与前n项和公式,C级要求;3.等差数列与一次函数、二次函数的关系,A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1等差数列的定义如果一个数列,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,通常用字母表示数学语言表达式:an1and(nN*,d为常数),或anan1d(n2,d为常数)数学语言表达式:an1and(nN*,d为常数),或anan1d(n2,d为常数)从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差d基础诊断考点突破课堂总结2等
2、差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an.通项公式的推广:anam(m,nN*)(2)等差数列的前 n 项和公式Snna1an2d(其中 nN*,a1 为首项,d为公差,an 为第 n 项)a1(n1)d(nm)dna1nn12基础诊断考点突破课堂总结3等差数列及前n项和的性质(1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A.(2)若an为等差数列,且mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN*)(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为的等差数列(4)数列Sm,S2mSm,S3mS2m
3、,也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.ab2md 基础诊断考点突破课堂总结(6)若 n 为偶数,则 S 偶S 奇nd2;若 n 为奇数,则 S 奇S 偶a 中(中间项)基础诊断考点突破课堂总结4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B 为常数)5等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中,a10,d0,则 Sn 存在最值;若a10,d0,则 Sn 存在最值.大小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)数列
4、an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an满足an1ann,则数列an是等差数列()基础诊断考点突破课堂总结2(2014重庆卷改编)在等差数列an中,a12,a3a510,则a7_.答案 8解 析 法 一 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为d,则a12,2a16d10,解之得 d1,故 a7a16d2618.法二 由等差数列的性质知 a1a7a3a5,a7(a3a5)a11028.基础诊断考点突破课堂总结3(2014新课标全国卷改编)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和
5、Sn_.答案 n(n1)解析 a2,a4,a8 成等比数列,a24a2a8,即(a13d)2(a1d)(a17d),将 d2 代入上式,解得 a12,Sn2nnn122n(n1)基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修5P44T5(3)改编)在等差数列an中,若a3a5a79,则其前9项和S9的值为_答案 27解析 由等差中项性质易得 a3a5a73a59,解得 a53,故 S99a1a929a527.基础诊断考点突破课堂总结5(2014江西卷)在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n8时Sn取得最大值,则d的取值范围为_解析 由题意知 d0 且a80,a90,即77d0,
6、78d0,解得1d78.答案 1,78 基础诊断考点突破课堂总结考点一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9_.解析 法一(常规解法):设公差为d,则8a128d4a18d,即a15d,a7a16d5d6dd2,所以a9a72d6.法二(结合性质求解):根据等差数列的定义和性质可得,S84(a3a6),又S84a3,所以a60,又a72,所以a84,a96.答案 6基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn,a11,S2S336.求d及Sn;求m,k(m,kN*)的值,使得a
7、mam1am2amk65.基础诊断考点突破课堂总结解 由题意知(2a1d)(3a13d)36,将 a11 代入上式解得 d2 或 d5.因为 d0,所以 d2.从而 an2n1,Snn2(nN*)由得 amam1am2amk(2mk1)(k1),所以(2mk1)(k1)65.由 m,kN*知 2mk1k11,故2mk113,k15,所以m5,k4.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一般地,运用等差数列性质,可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件,如mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN*),只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方
8、程思想,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)设数列an,bn都是等差数列,且a125,b175,a2b2100,则a37b37_.(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为_(3)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_.解析(1)设an,bn的公差分别为d1,d2,则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2,anbn为等差数列,又a1b1a2b2100,an
9、bn为常数列,a37b37100.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 a1a2a334,an2an1an146,a1a2a3an2an1an34146180,又因为 a1ana2an1a3an2,所以 3(a1an)180,从而 a1an60,所以 Snna1an2n602 390,即 n13.(3)S10,S20S10,S30S20 成等差数列,2(S20S10)S10S30S20,4010S3030,S3060.答案(1)100(2)13(3)60基础诊断考点突破课堂总结考点二 等差数列的判定与证明【例 2】(2014梅州调研改编)若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2SnSn1
10、0(n2),a112.(1)求证:1Sn 成等差数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n2 时,由 an2SnSn10,得 SnSn12SnSn1,所以 1Sn 1Sn12,又 1S1 1a12,故1Sn 是首项为 2,公差为 2 的等差数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可得 1Sn2n,Sn 12n.当 n2 时,anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当 n1 时,a112不适合上式故 an12,n1,12nn1,n2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明anan1d(n2,d为常数);二是等差
11、中项法,证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2015南京、盐城模拟)已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a3a4117,a2a522.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足 bn Snnc,是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由基础诊断考点突破课堂总结解(1)设等差数列an的公差为 d,且 d0,由等差数列的性质,得 a2a5a3a422,所以 a3,a4 是关于 x 的方程 x222x1170 的解,所以 a39,a413
12、,易知 a11,d4,故通项为 an1(n1)44n3.(2)由(1)知 Snn14n322n2n,所以 bn Snnc2n2nnc.基础诊断考点突破课堂总结法一 所以 b1 11c,b2 62c,b3 153c(c0)令 2b2b1b3,解得 c12.当 c12时,bn2n2nn122n,当 n2 时,bnbn12.故当 c12时,数列bn为等差数列基础诊断考点突破课堂总结法二 由 bn Snncn14n32nc2nn12nc,c0,可令 c12,得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*),数列bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c12,使数列bn也为等差数列基础诊断考
13、点突破课堂总结考点三 等差数列前n项和的最值问题【例3】等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5S12,则当n为何值时,Sn有最大值?深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法?在这里提醒大家:本题可用四种方法,请大家先思考基础诊断考点突破课堂总结解 法一 由题意知 d0,因为 Snd2n2a1d2 n,则可设 f(x)d2x2a1d2 x,如图:由 S5S12 知,抛物线的对称轴为 x5122172,由图可知,当 1n8 时,Sn 单调递增;当 n9 时,Sn 单调递减又 nN*,所以当 n8 或 9 时,Sn 最大基础诊断考点突破课堂总结法二 设等差数列an的公差为 d,由
14、S5S12 得 5a110d12a166d,d18a10.所以 Snna1nn12dna1nn12(18a1)116a1(n217n)116a1n172228964 a1,因为 a10,nN*,所以当 n8 或 n9 时,Sn 有最大值基础诊断考点突破课堂总结法三 设等差数列an的公差为 d,由法二得 d18a10.设此数列的前 n 项和最大,则an0,an10,即ana1n118 a10,an1a1n18 a10,解得n9,n8,即 8n9,又 nN*,所以当 n8 或 n9 时,Sn 有最大值基础诊断考点突破课堂总结法四 同法二得 d18a10,由 S5S12,得 a6a7a8a9a10a
15、11a120,7a90,a90,当 n8 或 9 时,Sn 有最大值,规律方法 求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5a74,a6a82,则当Sn取最大值时,n的值为_(2)(2014安徽望江中学模拟)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S65a110d,则Sn取最大值时,n的值为_(3)已知等差数列an的首项a12
16、0,公差d2,则前n项和Sn的最大值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)依题意得2a64,2a72,a620,a710;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n6.(2)由题意得S66a115d5a110d,所以a60,故当n5或6时,Sn最大基础诊断考点突破课堂总结(3)因为等差数列an的首项 a120,公差 d2,代入求和公式得,Snna1nn12d20nnn122n221nn21222122,又因为 nN*,所以 n10 或 n11 时,Sn 取得最大值,最大值为 110.答案(1)6(2)5或6(3)110基础诊断考点
17、突破课堂总结思想方法1等差数列的判断方法(1)定义法:an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式:anpnq(p,q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式:SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列基础诊断考点突破课堂总结2方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,ad,a2d;(2)ad,a,ad;(3)ad,ad,a3d等,可视具体情况而定基础诊断考点突破课堂总结易错防范1当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d0时,an为常数2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列3求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到,需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数);若对称轴对应两个正整数的中间,此时应有两个符合题意的n值