1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理(重点)2能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题(重点、难点)3理解平行与垂直之间的相互转化(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2通过学习平面与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两
2、条直线 符号语言ab 图形语言 平行ab作用线面垂直线线平行作平行线 思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？提示 有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线2平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则 垂直于 的直线与另一个平面 符号语言 l a一个平面内交线垂直aal图形语言 作用面面垂直 垂直作面的垂线线面思考：如果，则 内的直线必垂直于 内的无数条直线吗？提示 正确若设 l，a，b，bl，则 ab，故 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线D 由题意可知 l，所以 lm.1直
3、线 n平面，nl，直线 m，则 l、m 的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D垂直D 可能平行，也可能相交如图，与 平行，与 垂直 2若平面 平面，平面 平面，则()ABC 与 相交但不垂直D以上都有可能C 由线面垂直的性质定理可知，当 b，a 时，ab.3已知直线 a，b，平面，且 a，下列条件中，能推出 ab的是()AbBbCbDb 与 相交相交、平行或异面 根据题意，l，m 可能相交、平行或异面4平面 平面，直线 l，直线 m，则直线 l，m 的位置关系是_合 作 探 究 释 疑 难 线面垂直性质定理的应用【例 1】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上
4、一点，N 是 A1C 的中点，MN平面 A1DC.求证：MNAD1.证明 因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1A1D.又因为 CD平面 ADD1A1，所以 CDAD1.因为 A1DCDD，所以 AD1平面 A1DC.又因为 MN平面 A1DC，所以 MNAD1.证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟进训练1如图，已知平面 平
5、面 l，EA，垂足为 A，EB，直线 a，aAB.求证：al.证明 因为 EA，l，即 l，所以 lEA.同理 lEB.又 EAEBE，所以 l平面 EAB.因为 EB，a，所以 EBa，又 aAB，EBABB，所以 a平面 EAB.由线面垂直的性质定理，得 al.面面垂直性质定理的应用【例 2】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC.求证：BCAB.证明 如图，在平面 PAB 内，作 ADPB 于点 D.平面 PAB平面 PBC，且平面 PAB平面 PBCPB，AD平面 PAB，AD平面 PBC.又 BC平面 PBC，ADBC.又PA平面 ABC，BC平面
6、 ABC，PABC，又PAADA，BC平面 PAB.又 AB平面 PAB，BCAB.1证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若 ab，a，则 b(a、b 为直线，为平面)；(4)若 a，则 a(a 为直线，为平面)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线跟进训练2如图，四棱锥 V-ABCD 的底面是矩形，侧面 VAB底面 ABCD，又 VB平面 VAD.求证：平面 VBC平面 VAC.证明 面 VAB面 ABCD，且 BCAB，面 VAB面 ABCDAB，BC平面 ABCD.BC面
7、 VAB，又 VA平面 VAB，BCVA，又 VB面 VAD，VBVA，又 VBBCB，VA面 VBC，VA面 VAC，平面 VBC平面 VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用探究问题试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示 垂直问题转化关系如下所示：【例 3】如图所示，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面 DEA平面 ECA.思路探究：(1)设出 BD，分别求出 DE、DA 的长度或证明 DMAE，即证 DM 为 AE 的中垂线即可(2)(3)只需证明 DM平面
8、ECA 即可证明(1)设 BDa，如图，作 DFBC 交 CE 于 F，则 CFDBa.因为 CE平面 ABC，所以 BCCF，DFEC，所以 DE EF2DF2 5a.又因为 DB平面 ABC，所以 DA DB2AB2 5a，所以 DEDA.(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN 綊12CE 綊 DB.所以四边形 MNBD 为平行四边形，所以 MDBN.又因为 EC平面 ABC，所以 ECBN，ECMD.又 DEDA，M 为 EA 的中点，所以 DMAE.所以 DM平面 AEC，所以平面 BDM平面 ECA.(3)由(2)知 DM平面 AEC，而 DM平面 DEA，所以平面
9、DEA平面 ECA.本例条件不变，试求平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的大小解 如图延长 ED 交 CB 延长线于点 N，连接 AN，设 BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN 中，由BDCE12知 B 为 CN 中点，CBBN2a.ABN 中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即 NACA.又 EC平面 ABC，ECNA，又 CACEC，NA平面 ACE，NAAE，NAAC，且 AN 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线CAE 为平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的平面角，在 RtACE 中，ACCE，CAE45.所以平面 ADE 与平面 ABC 所成二面
10、角为 45.垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题课 堂 小 结 提 素 养 1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：D ab，b，则 a 或 a.选 D.1直线 a 与直线 b 垂直
11、，直线 b平面，则直线 a 与平面 的位置关系是()Aa BaCaDa 或 aB PAPB，ADDB，PDAB.又平面 ABC平面 PAB，平面 ABC平面 PABAB，PD平面 ABC.2如图所示，三棱锥 P-ABC 中，平面 ABC平面 PAB，PAPB，ADDB，则()APD平面 ABCBPD平面 ABCCPD 与平面 ABC 相交但不垂直DPD平面 ABC4 PA平面 ABC，AB平面 ABC，AC平面 ABC，BC平面 ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形由 BCAC，且 ACPAA，得 BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是直角三角形故直角三角形有 4 个3如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面SDC底面 ABCD，求证：平面 SCD平面 SBC.证明 因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.又平面 SDC平面 ABCD，平面 SDC平面 ABCDCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 SCD.又因为 BC平面 SBC.所以平面 SCD平面 SBC.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
