1、第 2 课时 三角恒等变换的应用课时过关能力提升基础巩固1 函数 y=cos 的最小值等于 A.-1B.1C 解析:y=cos x,最小值为-1.答案:A2 函数 y=cos()()是 A.周期为 的奇函数B.周期为 的偶函数C.周期为 2 的奇函数D.周期为 2 的偶函数解析:y=cos()()=cos()2x,则其为奇函数,周期 T 答案:A3 函数 y 的最小正周期等于 A C.2D.3解析:y 答案:C4 函数 y 的值域是 A-B-C-D-解析:y 2x+sin2x 2x -(-)值域为 -答案:C5 已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是x 则函数 的最
2、大值是 A C 解析:由于函数 f(x)的图象关于 x 对称,则 f(0)=()a=a=g(x)=x+cosx ()g(x)max 答案:B6 函数 y=2sin x+2cos x 的值域是 .解析:y=2sinx+2cosx=()则值域是-答案:-7 函数 f(x)的单调递增区间是 解析:f(x)=(-)(-)令 x Z),则 x Z).即单调递增区间是-Z).答案:-Z)8 如图,圆心角为直角的扇形 AOB,半径 OA=2,点 C是 上任一点 且 OA 于点 E,CFOB 于点 F,设AOC=x,矩形 OECF 的面积为 f(x).求:(1)f(x)的解析式;(2)矩形 OECF 面积的最
3、大值.解(1)f(x)=OEEC=OCcosxOCsinx=4sinxcosx=2sin2x,f(x)=2sin2x,x()(2)f(x)=2sin2x,x()02x.当 x 时,f(x)取得最大值 2,即矩形 OECF 面积的最大值为 2.9 已知函数 f(x)=2sin2x-co()(1)求()的值(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)=2sin2x-co()=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x ()所以()(-)(2)由(1)得 f(x)(-)所以周期T 令 2k 2x 2k Z,解得 k xk Z,故函数 f(x)的单调递增区间为 -Z).
4、能力提升1 设 M=平面内的点(a,b),N=f(x)|f(x)=acos 2x+bsin 2x,给出 M 到 N 的映射 f:(a,b)f(x)=acos 2x+bsin 2x,则点(1 的象 的最小正周期为 A 解析:点(1 的象f(x)=cos2x 2x=()()则f(x)的最小正周期为 T 答案:C2 已知函数 f(x)的最小正周期为 则 A.1B.2C.3D.4解析:f(x)2x 2x 2x =si(-)则有 答案:B3 关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x,有下列命题:函数 y=f(x)的最小正周期为;直线 x 是 图象的一条对称轴 点()是 图象的一个对称中心 将 y=
5、f(x)的图象向左平移 个单位长度 可得到 的图象 其中真命题的序号是 .解析:f(x)=sin2x-cos2x (-)则T ()(-)()不是函数f(x)的最值,则直线 x 不是y=f(x)的图象的一条对称轴;()(-)则点()是y=f(x)的图象的一个对称中心;将 y=f(x)的图象向左平移 个单位,可得到 y ()-()的图象,不是 y 2x 的图象,故正确,错误.答案:4在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为,
6、则 cos 2 的值等于 .答案:5 点 P 在直径 AB=1 的半圆上移动,过点 P 作圆的切线 PT,且 PT=1,PAB=,则四边形 ABTP 的面积最大时=.答案:6 已知函数 f(x)-(1)求 f(x)的定义域及最小正周期;(2)求 f(x)的单调递增区间.解(1)由 sinx0 得 xk(kZ),故 f(x)的定义域为xR|xk,kZ因为 f(x)-x(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1 (-)所以 f(x)的最小正周期 T (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为 -Z).由 2k 2x 2k k(kZ),得 k xk k(kZ).所以 f(x)的单调递增区间为
7、 -)和(Z).7 已知函数 f(x)(1)若点 P(1,在角 的终边上 求 的值(2)若 x-求 的值域 解(1)因为点 P(1,在角 的终边上,所以 sin=所以 f()2-2sin2=cos-2sin2=(-)(-)(2)f(x)2x-2sin2x 2x+cos2x-1=2si()因为 x-所以 2x 所以 si()1.所以 f(x)的值域为-2,1.8如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MNBC.(1)设MOD=30,求三角形铁皮 PMN 的面积.(2)求剪下的铁皮三角形
8、 PMN 的面积的最大值.解(1)由题意知 OM 所以 MN=OMsinMOD+CD=OMsinMOD+AB=1sin30+1 BN=OA+OMcosMOD=1+1cos30=1 所以 SPMN BN 即三角形铁皮 PMN 的面积为 (2)设MOD=x,则 0 x,因为 BP 所以点 P 在线段 AB 上.MN=OMsinx+CD=sinx+1,BN=OMcosx+OA=cosx+1,所以 SPMN BN x+1)(cosx+1)xcosx+sinx+cosx+1),令 t=sinx+cosx ()由于 0 x,所以 则有 ()1,所以-1t 且 t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx -故 SPMN (-)而函数 y 在区间(-1 上单调递增,故当 t 时,y 取最大值,即 ymax 即剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值为
