1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 空间几何体及其表面积与体积基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，A级要求；2.柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，A级要求基础诊断考点突破课堂总结1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都，上、下底面是且平行的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是多边形平行且相等全等相似基础诊断考点突破课堂总结续表旋转体(1)圆柱可以由绕其任一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形
2、绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面或圆面绕所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径基础诊断考点突破课堂总结2.柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积圆柱S 侧2rhVr2h圆锥S 侧V13Sh13r2h13r2 l2r2圆台S 侧(r1r2)lV13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h Sh rl 基础诊断考点突破课堂总结续表直棱柱S 侧V正棱锥S 侧 V 正棱台S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面V43R3ChSh12Ch13Sh4R2基础诊断考点突破课堂总结3.几何体的表面积(1)棱柱、
3、棱锥、棱台的表面积就是(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、；它们的表面积等于与底面面积之和各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高()(4)圆柱的侧面展开图是矩形()基础诊断考点突破课堂总结2 以 长 方 体 的 各 顶 点 为 顶 点，能 构 建 四 棱 锥 的 个 数 是_解析 设长方体ABCDA1B1C1D1，若点A为四棱锥的顶点，则底面可以为不过点A的矩形A1B1
4、C1D1，矩形BCC1B1，矩形CDD1C1，矩形BB1D1D，矩形BCD1A1，矩形CDA1B1，共有6个不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共6848(个)不同的四棱锥答案 48基础诊断考点突破课堂总结3(2014福建卷改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转 轴，将 该 正 方 形 旋 转 一 周 所 得 圆 柱 的 侧 面 积 等 于_解析 由题意得圆柱的底面半径r1，母线l1.所以圆柱的侧面积S2rl2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结4(2014南京模拟)已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为_答案 17解析 如图，连接 A1C，则外接球
5、直径 2RA1C 322 22 17，所以球的表面积为 S4R217.基础诊断考点突破课堂总结5一个球内切于棱长为2 cm的正方体，则球的体积为_cm3.答案 43解析 由题意知正方体的棱长为其内切球的直径，所以其内切球的半径 r1221(cm)，V 球43r343(cm3)基础诊断考点突破课堂总结考点一 空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也
6、可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)给出以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数是_(2)一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为_
7、(填正确答案的序号)基础诊断考点突破课堂总结解析(1)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题题，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行(2)不论怎样去截这个球，都不可能出现这种情况而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现这种情况，所以答案是.答案(1)1(2)基础诊断考点突破课堂总结考点二 空间几何体的表面积【例2】(1)(2015苏州调研)若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为_(2)(2014大纲全国卷改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_基础诊断考点突破课堂总结解析(
8、1)依题意得，圆锥的侧面积等于 1 1222 5.(2)易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 R，则(4R)2(2)2R2，解得 R94，所以球的表面积为 4942814.答案(1)5(2)814 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2015扬州模拟)正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在
9、此球面上)的表面积为_(2)(2015徐州质量检测)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于426225，其表面积等于425100.(2)该圆柱的侧面积为 2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为 426.答案(1)100(2)6基础诊断考点突破课堂总结考点三 空间几何体的体积【例 3】(1)(2014新课标全国卷改编)正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1 的体积为_(2)(2015
10、无锡检测)如图所示，已知一多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图，在正ABC 中，D 为 BC 中点，则有 AD 32 AB 3，又平面 BB1C1C平面 ABC，ADBC，AD平面 ABC，由面面垂直的性质定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的底面 B1DC1 上的高VAB1D C113SB1D C1AD13122 3 31.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为
11、22，所以体积 V1311 22 26.答案(1)1(2)26基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABCA1B1C1的体积为_(2)(2015苏北四市调研)已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3.基础
12、诊断考点突破课堂总结解析(1)(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示记 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 d，则 d2.则 V 三棱柱12V 四棱柱12S 四边形 BCC1B1d12424.(2)依题意，该正六棱柱的底面边长是726 162 cm，因此其体积等于 6 34 22636 3 cm3.答案(1)4(2)36 3基础诊断考点突破课堂总结微型专题 空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题将空间几何体表面进行展开是化解该难点的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上
13、，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可基础诊断考点突破课堂总结【例4】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，CC15，则沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为_点拨 求几何体表面上两点间的最短距离，可以将几何体的侧面展开，利用平面内两点之间线段最短来解答基础诊断考点突破课堂总结解析 在长方体的表面上从 A 到 C1 有三种不同的展开图(1)将平面 ADD1A1 绕着 A1D1 折起，得到的平面图形如图 1 所示则 AB1538，B1C14，连接 AC1
14、，在 RtAB1C1 中，AC1 AB21B1C21 82424 5.基础诊断考点突破课堂总结(2)将平面 ABB1A1绕着 A1B1折起，得到的平面图形如图 2 所示则BC1549，AB3，连接 AC1，在 RtABC1 中，AC1AB2BC21 32923 10.基础诊断考点突破课堂总结(3)将平面 ADD1A1绕着 DD1折起，得到的平面图形如图 3 所示则AC437，CC15，连接 AC1，在 RtACC1 中，AC1AC2CC21 7252 74.显然 744 53 10，故沿着长方体表面从 A 到 C1 的最短路线长为 74.答案 74基础诊断考点突破课堂总结点评 本题的难点在于如
15、何将长方体的表面展开，将其表面上的最短距离转化为平面内两点间距离来解决因为长方体的表面展开图形状比较多，其表面展开图因展开的方式不同，会得到不同的结果，应将这些结果再进行比较才能确定最值本题易出现的问题是只利用一种表面展开图得出数据就误以为是最小值.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解基础诊断考点突破课堂总结4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径基础诊断考点突破课堂总结易错防范1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行2对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算3求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高或底面易求，注意“等积转化”的思想方法.
