1、4.2 等 差 数 列4.2.1 等差数列的概念第1课时 等差数列的概念新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义2能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题3体会等差数列与一元一次函数的关系1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念(数学抽象)2借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系(数学抽象)3会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题(数学运算)4能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题(数学运算、数学建模)必备知识自主学习1.等差数列的定义(1)条件：从第_项起每一项与它的_的差都等于_常数(2)结论：这个
2、数列是等差数列(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的_，常用_表示导思1.什么是等差数列？2等差数列的通项公式是什么？3什么是等差中项？2前一项同一个公差d(1)为什么强调“从第2项起”？提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)如何理解“每一项与前一项的差”？提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻2等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列(2)结论：_叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式：2A_Aab等式“2Aab”有哪些等价形
3、式？提示：2AabAabAAab2.3等差数列的通项公式递推公式通项公式_d(nN*)an_(nN*)an1ana1(n1)d1怎样从函数角度认识等差数列？提示：若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d).(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.2由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？提示：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等
4、差数列an的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()提示：(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)当d0时为递增数列；d0时为常数列；d1)，记bn1an2.求证：数列bn是等差数列【证明】(定义法)因为bn11an12 144an 2an2（an2），所以bn1bnan2（an2）1an2 an22（an2）12，为常数(nN*).又b11a12 12，所以数列bn是首项为12，公差为12 的等差数列(等差中项法)因为bn1an2
5、，所以bn11an12 144an 2an2（an2）.所以bn2an12（an12）44an244an2an1an2.所以bnbn22bn11an2 an1an2 2an2（an2）0.所以bnbn22bn1(nN*)，所以数列bn是等差数列【补偿训练】已知数列an满足an13an3n，且a11.(1)证明：数列an3n 是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)由an13an3n，两边同时除以3n1，得an13n1 an3n 13，即an13n1 an3n 13.由等差数列的定义知，数列an3n 是以a13 13 为首项，13 为公差的等差数列(2)由(1)知an3n 13(n1
6、)13 n3，故ann3n1，nN*.备选类型 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)【典例】已知f(x)2xx2，在数列xn中，x113，xnf(xn1)(n2，nN*)，试说明数列1xn 是等差数列，并求x95的值【思路导引】设法说明 1xn 1xn1是常数【解析】因为当n2时，xnf(xn1)，所以xn2xn1xn12(n2)，即xnxn12xn2xn1(n2)，得2xn12xnxnxn11(n2)，即 1xn 1xn112(n2).又 1x1 3，所以数列1xn 是以3为首项，12 为公差的等差数列，所以1xn 3(n1)12 n52，所以xn 2n5，所以x952955 15
7、0.(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养1已知数列an满足a11，且an2an12n(n2，且nN*).(1)求a2，a3；(2)证明：数列an2n 是等差数列；(3)求数列an的通项公式an.【解析】(1)a22a1226，a32a22320.(2)因为an2an12n(n2，且nN*)，所以an2n an12n1 1(n2，且nN*)，即an2
8、n an12n1 1(n2，且nN*)，所以数列an2n 是首项为a121 12，公差d1的等差数列(3)由(2)，得an2n 12(n1)1n12，所以ann12 2n.2已知数列an满足a1a21，anan12(n3).(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式【解析】(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足anan12(n3)，所以an不是等差数列(2)当n2时an是等差数列，公差为2.当n2时，an12(n2)2n3，又a11不适合上式，所以an的通项公式为an 1n 12n3n2.，课堂检测素养达标1在等差数列an中，若a24，a42，
9、则a6()A1 B0 C1 D6【解析】选B.设an的公差为d，根据题意知：a4a2(42)d，易知d1，所以a6a4(64)d0.2等差数列an的首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为()Aa11Ba10Ca9Da8【解析】选C.|an|70(n1)(9)|799n|，所以n9时，|an|最小3已知数列an，对任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y2x1上，则an为()A公差为2的等差数列B公差为1的等差数列C公差为2的等差数列D非等差数列【解析】选A.由题意知an2n1，所以an1an2.4已知a13 2，b13 2，则a，b的等差中项为_【解析】ab213 213 223 2 3 22 3.答案：35三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为_【解析】设这三个数分别为ad，a，ad，则3a9，所以a3.所以这三个数分别为3d，3，3d.由题意，得3(3d)6(3d)，所以d1.所以这三个数分别为4，3，2.答案：4，3，2