1、第4节 万有引力理论的成就 学习目标 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2.了解“称量地球质量”的基本思路。3.了解计算太阳质量的基本思路,会用万有引力定律计算天体质量。4.认识万有引力定律的成就,体会科学的迷人魅力。自主学习 教材提炼 知识梳理 自转 1.地球质量的计算(1)思路:若不考虑地球 ,质量为m的物体在地球表面所受 的重力等于地球对它的万有引力,即mg=。(2)结果:M=2gRG,在 g,R,G 已知的情况下,即可计算出地球质量 M。2MmG R2.太阳质量的计算(1)思路:行星绕太阳做 运动的向心力是由它们之间的 提供的。匀速圆周 万有引力 周期 设 M 是太阳质量,m
2、是某个行星的质量,r 是太阳与行星之间的距离,T 是行星绕太阳公转的周期,则 G2Mmr=。m(2T)2r(2)结果:M=2324 rGT,测出 r 和 T,即可计算出太阳质量 M。同理,如果已知卫星绕行星运动的 和卫星与行星之间的距离,也可以计算出 的质量。行星 二、发现未知天体 1.已发现天体的轨道推算 18世纪,人们观测到太阳系第七颗行星天王星的运动轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。2.未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道,结合万有引力定律推算出未知天体的轨道,如海王星就是这样发现的。练一练 1.应用万有引力定律计算天体质量的基本思路之一,是对某运动天体建立所受万有引力
3、等于做圆周运动的向心力的方程,再根据有关的运动参数即可求解,如图所示。对这一思路的理解,以下说法正确的是()A.可根据中心天体的有关运动参数求得运动天体的质量m B.可根据运动天体的有关运动参数求得运动天体的质量m C.可根据运动天体的有关运动参数求得中心天体的质量M D.可根据中心天体的有关运动参数求得中心天体的质量M C 解析:根据万有引力提供向心力,则 G2Mmr=m2vr=m2r=m(2T)2r,由于运动天体的质量 m 被约掉了,故无法计算运动天体的质量,要求得中心天体的质量 M,需要知道运动天体的有关运动参数。2.有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地球上重力加速度
4、的4倍,则该星球的质量是地球质量的()B A.14 B.64 倍 C.16 倍 D.4 倍 解析:星球表面的重力加速度 g=2GMR,又知=34 3MR,可解得 gg星地=RR星地,则 MM星地=(gg星地)3=64,选项 B 正确。3.(2018浙江4月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.210 6 km。已知引力常量G=6.67 10-11 Nm2/kg2,则土星的质量约为()A.51017 kg B.51026 kg C.71033 kg D.41036 kg B 解析:根据万有引力提供向心力可得 G2Mmr=mr224T,解得 M=2324
5、 rGT,代入数据得 B正确。C 解析:设脉冲星的质量为 M,半径为 r,密度为,假设有一质量为 m 的物体在脉冲星表面随脉冲星的自转而转动,物体所需的最大向心力为 mr224T,则必须满足万有引力 G2Mmrmr224T,否则脉冲星将由于自转而瓦解.又知 M=43r3,解得5.21015 kg/m3.故选项 C 正确。4.2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.6710-11 Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A.5109 kg/m3 B.
6、51012 kg/m3 C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3 要点一 计算天体的质量、密度 课堂探究 A A.地球的质量 m 地=2gRG B.太阳的质量 m 太=22324 TGl C.月球的质量 m 月=231214 lGT D.可求月球、地球及太阳的密度 例1 英国物理学家卡文迪许测出引力常量G,卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期),一年的时间T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离l1,地球中心到太阳中心的距离l2。能计算出()思路探究:(1)已知地球半径R,地面重
7、力加速度g,引力常量G,如何求解地球质量?(2)从题给条件,已知地球围绕太阳做匀速圆周运动的周期和半径,中心天体是太阳,由此如何求出太阳质量?答案:(1)利用2GMmR=mg 求解。解析:对地球表面的一个物体 m0来说,应有 m0g=02Gm mR地,所以地球质量m 地=2gRG,选项 A 正确。对地球绕太阳运动来说,有22Gm ml太地=m 地2224Tl2,则 m 太=231224 lGT,选项B 错误。对月球绕地球运动来说,能求地球质量,但不知道月球的相关参量及月球卫星的运动参量,无法求出它的质量和密度,选项 C,D 错误。(2)利用22Gm ml太地=m 地2224Tl2求解。误区警示
8、 估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等。(2)注意黄金代换式GM=gR2的应用。(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R,则天体密度=23GT,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T,就可估测出中心天体的密度。针对训练1:一飞船在某行星表面附近绕该行星飞行,若认为行星是密度均匀的球体,则要确定该行星的密度,只需要测量()A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 C 解析:飞船绕行星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即 G2MmR=m224TR
9、,故行星的质量 M=2324 RGT,其密度=34 3MR=23GT,由此看出,只要测出飞船的运行周期T 就可确定行星的密度。要点二 发现未知天体 例 2 英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最,在 XTEJ1 650-500 双星系统中发现的最小黑洞位列其中。若某黑洞的半径 R约为 45 km,质量 M 和半径 R 的关系满足 MR=22cG (其中 c 为光速,G 为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为()C A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2 思路探究:(1)黑洞是怎样形
10、成的?(2)通过什么方程求黑洞表面重力加速度?答案:(1)由于星球的密度太大,吸引力大到连光都射不出来,即外界不能观察其“面容”。(2)利用2GMmR=mg 计算黑洞表面重力加速度。解析:可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力,即 mg=2GMmR,即 g=2GMR,将MR=22cG 代入上式得 g=22cR=823(3 10)245 10 m/s2=11012 m/s2。规律方法 特殊天体的研究 对于特殊天体,要抓住其特殊性的根本原因,分析向心力的来源,利用其存在的特殊性列出万有引力提供向心力的方程,同时借助黄金代换式解决问题。A.110 B.11 C.51 D.101 解析:对行星“51 p
11、eg b”,1121GM mr=m12214Tr1,对地球2222GM mr=m22224Tr2,化简即得12MM=(21TT)2(12rr)3,代入数据12MM=(3654)2(120)31。因此 B 正确。B 针对训练 2:过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 120。该中心恒星与太阳的质量比约为()课堂达标 1.下列说法正确的是()A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 B.天王星是人们依据万有引
12、力定律计算出轨道发现的 C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,其原因是天王星受到轨道内侧其他行星的引力作用 D.以上说法都不对 A 解析:海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律计算出轨道,然后又被天文工作者观察到的。天王星是人们通过望远镜观察发现的。在发现天王星的过程中,天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,这引起了人们的思考,推测天王星外面存在其他行星。综上所述,选项A正确。2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则可求得()A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的平均密度 D.太阳的平均密度 B 解析:知道行星的运
13、动轨道半径 r 和周期 T,再利用引力常量 G,根据2GMmr=224 mrT,只能算出太阳的质量,无法求出行星的质量,故选项 A 错误,B 正确;不知道行星的质量和体积,也就无法知道该行星的平均密度,故选项 C 错误;不知道太阳的体积,也就不知道太阳的平均密度,故选项 D 错误。3.设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视作半径为r的圆。已知引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足()A A.GM=2324 rT B.GM=2224 rT C.GM=2234 rT D.GM=324rT 解析:行星绕太阳公转,由万有引力提供向心力,即 G2Mmr=m(2T)2r,解得GM=23
14、24 rT,A 正确。D 解析:首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,即 G2MmR=m(2T)2R,可求出地球的质量,然后根据=334MR,可求得地球密度,结合已知条件可得该行星的密度约为 2.9104 kg/m3。4.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时,G=6.6710-11 Nm2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为()A.1.8103 kg/m3 B.5.6103 kg/m3 C.1.1104 kg/m3 D.2.9104 kg/m3 解析:因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力,有 G2Mmr=m2r=m224Tr,rct,解得 M=2324 rGT=23 324 c tGT地球半径为 R,则地面上质量为 m的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力,故有 F 引=mg,即:2GMmR=mg,m=2gRG,所以,Mm=23 3224 c tGTgRG=23 3224 c tgR T。5.已知太阳光从太阳射到地球需时间t,地球公转轨道可近似看成圆轨道,公转周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,试粗略计算太阳质量M与地球质量m之比。(真空中的光速为c)答案:23 3224 c tgR T
