1、3定积分的简单应用3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)基础初探教材整理1平面图形的面积阅读教材P87P88“例3”以上部分，完成下列问题.1.当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.2.当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图431)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)曲线ysin
2、 x，x与x轴围成的图形的面积为sin xdx.()(2)曲线yx3与直线xy2，y0围成的图形的面积为x3dx(2x)dx.()(3)曲线y3x2与直线y1围成的图形的面积为(4x2)dx.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2简单旋转几何体的体积阅读教材P89P90“练习”以上部分，完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为Vf(x)2dx.由yx2，x1和y0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.B.C.D.【解析】Vy2dx(x2)2dxx5.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑
3、问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用定积分求平面图形的面积(1)求由直线yx3，曲线yx26x13所围图形的面积S；(2)求由曲线yx2，直线y2x和yx围成的图形的面积.【精彩点拨】(1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】(1)作出直线yx3，曲线yx26x13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积S(
4、x3)dx(x26x13)dx(x27x10)dx.(2)法一：由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx0.法二：由于点D的横坐标也是2，故S(2xx)dx(x2x)dx2.法三：因为，.故所求的面积为Sdydyy2.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.再练一题1.由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图
5、形的面积为() 【导学号：94210075】A.B.1C.D.【解析】由图可知，所求面积S(x2x)dx(xx2)dx1.【答案】B求简单几何体的体积求由曲线yx2与y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】曲线yx2与y所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y，直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线yx2，直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2).V1()2dx2xdx2x
6、24，V2dxx4dxx5，所以VV1V24.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即Vf2(x)dxg2(x)dx，而不能写成Vf(x)g(x)2dx.2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式Vf2(x)dx求解.再练一题2.设平面图形由上的曲线ysin x及直线y，x围成，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】先画草图.设f(x)sin x，x，g(x).则f(x)与g(x)的交点为.Vdxdxdx.探究共研型定积分的综合应用探究1设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，试求a的值.【提
7、示】由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.探究2若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，试求c的值.【提示】由得x0或x.0xcx3，S (x2cx3)dx.c3，c.在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.【精彩点拨】设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】设切点A(x0，x)，切线斜率为k2x0，切线方程为yx2x0(xx0).令y0，得x，如图，Sx2dx x2(2x0xx)dxx.x，x01.切点A的坐标为(1，1)，切线方程为y2x1.1
8、.本题中求面积S时，易错误地写成Sx2(2x0xx)dx.错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.再练一题3.(2016济南高二检测)如图432，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP，曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2.图432(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2有最小值时，求点P的坐标和最小值.【解】(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt
9、3.因为S1S2，所以t，点P的坐标为.(2)SS1S2t32tt3t32t，St22，令S0得t220.因为0t2，所以t，当0t时，S0；t0.所以，当t时，S1S2有最小值，此时点P的坐标为(，2).构建体系1.用S表示图433中阴影部分的面积，则S的值是()图433A.f(x)dxB.C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx【解析】xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.【答案】D2.直线yx，x1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.B.C.D.1【解析】Vx2dxx3.【答案】B3.由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S
10、_.【解析】图形如图所示，Sx2dxx2dxx2dxx3.【答案】4.由yx2，yx所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V_. 【导学号：94210076】【解析】V(yy2)dy.【答案】5.计算由曲线y2x，yx2所围图形的面积S.【解】由得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABDdxx2dxxx3.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若yf(x)与yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xa，xb所围成的平面区域的面积为()A.f(
11、x)g(x)dxB.g(x)f(x)dxC.|f(x)g(x)|dxD.【解析】当f(x)g(x)时，所求面积为f(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，所求面积为g(x)f(x)dx.综上，所求面积为|f(x)g(x)|dx.【答案】C2.由抛物线yx2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.B.C.D.【解析】V(x2)2dxx5.【答案】D3.如图434，阴影部分的面积是()图434A.2B.2C.D.【解析】S(3x22x)dx.【答案】C4.曲线yx21与x轴所围成图形的面积等于()A.B.C.1D.【解析】函数yx21与x轴的交点为(1，0
12、)，(1，0)，且函数图像关于y轴对称，故所求面积为S2(1x2)dx22.【答案】D5.由xy4，x1，x4，y0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是()A.6B.12C.24D.3【解析】因为xy4，所以y，Vy2dxdx16x2dx16x11612.【答案】B二、填空题6.由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为_. 【导学号：94210077】【解析】画出y和yx3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S(x3)dx.【答案】(x3)dx7.由曲线ye，直线x0，x1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成
13、的几何体的体积是_.【解析】体积Vexdx(e1).【答案】(e1)8.由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为_.【解析】由得其交点坐标为(4，2).因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx81624.【答案】三、解答题9.(2016济宁高二检测)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图435所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.图435【解】由题图知方程f(x)0有三个实根，其中有两个相等的实根x1x20，于是b0，所以f(x)x2(xa)，有0(x3ax2)dx，所以a3.又a0a0)所围成的图形面积为a
14、3，则直线l的方程为()A.yaxB.yaxC.yaxD.y5ax【解析】显然，直线l的斜率存在.设直线l的方程为ykx，由得交点坐标为(0，0)，(2ak，2akk2)，所以图形面积Skx(x22ax)dx.又因为Sa3，所以a3，解得ka，所以直线l的方程为yax.故选A.【答案】A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为_.【解析】V(1x2)dx(1x2)dx.【答案】4.已知曲线C：y2x33x22x1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.【解】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y6x26x2，所以有解得x00，于是切线l的斜率k2，方程为y2，即y2x1.解方程组得或故切线l与曲线C围成图形的面积为S|2x33x22x1(2x1)|dx|2x33x2|dx，即所求面积为.
