1、 专题三 三角函数与平面向量知识网络图解考情分析及命题趋势1三角函数是基本的初等函数目前，我们对三角函数性质的了解，全面地反映了我们在高中阶段对函数性质的研究所要达到的深度和广度三角函数自成体系（定义、图象、性质、三角公式及变换等），同时通过它，又与数形紧密地联系在一起2平面向量在高中数学体系中独立成章向量可以和数一样运算，同时向量将数与形统一了起来，以向量为工具可以有效地解决数学和物理学科中的许多问题要认真体会在正、余弦定理的推理过程中向量所起的作用3对于三角函数，应熟练掌握其基础知识，把握住三角函数图象的几何特征，灵活应用（正用、逆用、变用）三角公式；灵活变换角，如=（+）；运用7方程与函
2、数思想对于向量，应理解其运算的深层次意义，比如ab把长度、角度、数相联结又比如通过a=可将向量问题转化为数的问题注意用坐标处理向量对于解析（立体）几何问题，比如平行、垂直，有时先用向量表达，再通过向量的运算来处理，最后把向量转化为数，这种方法比较简单4从近年考试说明和高考试题来看，对三角函数要求并不高题型多为选择题和解答题高考对向量的要求也基本如此，但要求有逐渐加强之势因此，对三角函数的复习应注意基础性，对向量的复习应注意综合性第12课时 三角变换主干知识整合 1三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需
3、运用代数式的运算法则或公式如平方差公式、立方差公式等对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界2在运用三角公式进行三角变换时，要从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理3三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数式的化简、求值、证明三种题型使用的工具是一致的，方法也是相通的；（2）倍角公式和万能公式都建立了2与、与的关系，正切函数起主要作用；真题新题探究【例1】 2004年湖北已知6sin2+sinacos2cos2 =0，），求si
4、n（2+）的值【分析】 通过已知的条件式，求出角的一个三角函数值，然后利用同角三角函数公式与两角和等公式求解【解】 解法一：由已知，有（3sin+2cos）（2sincos）=0得3sin+2cos=0或2sincos=0，由此知cos0，即，于是tan0，tan=sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）=将tan=代入得sin（2+）=解法二：由已知cos0，即（，）6sin2+sincos2cos2=06tan2+tan2=0，即（3tan+2）（2tan1）=0tan= （tan=舍去），由sin2+cos2=1，cos2=，得cos=，sin=
5、sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+ （2cos21）= =【评析】 本题主要考查对三角函数同角关系和两角和及倍角公式的掌握，正确地选用公式并注意题设中角的范围，是解此题关键【例2】 已知f（）=sin2+sin2（+）+sin2（+），其中0试问，为何值时，f（）为与无关的定值【分析】 若f（）为与无关的定值，则有f（0）= f（）= f（）= f（），即可求、，再把、代入，看f（）是否为定值【解】 设f（）=sin2+sin2（+）+sin2（+）为与无关的定值，则f（0）=f（）=f（）=f （），于是：sin2+sin2=sin2a+sin2（）=sin2+s
6、in2（）=1+cos2+cos2，sin2=sin2=sin2（）= 0，故0，=，=反之，若=，=，则f（） =sin2+=sin2+= （定值）所以，当=，=时，f（）为与无关的定值【评析】 本题是用先特取再反代的方法求解这种逆向思维的解题过程应值得重视【例3】 已知f（x）=2sin（x+）cos（x+）+cos2（x+）-（1）试化简f（x）的解析式；（2）若0，试求出使f（x）为偶函数时的的值；（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x）1且x，的集合【分析】 通过和角公式与降次方法以及辅助角公式可将f（x）化简为形如Asin（x+）或Acos（x+）的函数，再根据题设f（x）=f（
7、x）与0，可确定的值，利用f（x）的单调性或图象法，可得出简单的不等式f（x）1且x的解集【解】 （1）f（x） =sin（2x+）+=sin（2x+）+cos（2x+）=2 sin（2x+） f（x）=2 sin（2x+）（2）依题意f（x）=f（x），+=+k，kZ，又0，=时，f（x）为偶函数（3）由（2）即解满足题意的x的集合是【评析】 本题主要考查可化为Asin（x+）的函数的性质，熟练地进行三角函数式的化简，会运用函数的奇偶性、单调性解决问题是此题获解的关键【例4】 若函数f（x）=+bcosx+csinx的图象过点A（0，1）和B（，1）且x0，时f（x）2恒成立，试求实数的取值
8、范围【分析】 将点A，B的坐标代入函数式，求得a，b，c的关系后，通过消元，可得到含参数a的三角函数式，然后根据f（x）的值域转化为解关于a的不等式【解】 由已知A（0，1）与B（，1）在f（x）的图象上，f（0）=a+b=1，f （）=a+c=1b=c=1a，f（x）=a+（1a）（cosx+sinx） =a+（1a）sin（x+）x0，x+，sin（x+）1依题意，只需对f（x）的最小值与1a的正负进行讨论：当a1时，1f（x）a+（1a）f（x）2恒成立，只要a+（1a）2，解得a，a1；当a1时，a+（1a）f（x）1，只要a+（1a）2，解得a4+3，1a4+3综上所述，实数的取值范
9、围是，4+3【评析】 本题考查三角函数式的化简与三角函数性质运用的能力，其中代入消元和分类讨论的思想是解题的关键方法技巧提炼1三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等2对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性第13课时 三角函数图象与性质主干知识整合1三角函数的图象包括：y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象；“五点法”画出y=Asin（x+）的简图；利用平移和伸缩变换画出y=Asin（x+）的图象对三角函数图象要从对称轴和有界性双角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，这
10、是高考命题的一个热点2三角函数的性质包括：奇偶性，单调性，周期性，最值其中对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究真题新题探究【例1】 已知函数f（x）是定义在（，）上的奇函数且为减函数，又函数满足f（1sinx）+f（1sin2x）0，求x的取值范围【分析】 把题目中的抽象的不等式转化为具体的不等式，再化简【解】 由题意得1sinx，si
11、nx1又1sin2xsinx1从而sinx1又f（1sinx）+f（1sin2x）0及f（x）是奇函数，故f（1sinx）f（sin2x1）又f（x）是减函数，所以1sinxsin2x1，sin2x+sinx20，1sinx1 由得sinx1故x的取值范围是x（2k+arcsin，2k+）（2k+，2k+arcsin（kZ）【例2】 2003年江苏已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值【分析】 抓住函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，且有f（x）=f（x），又图象关于点M对称，则有，这两点是解决本题的关键【解】 由f
12、（x）是偶函数，得f（x）=f（x）即sin（x+）=sin（x+），cossinx=cossinx对任意x都成立，且0，所以得cos=0依题设0，所以得=由f（x）的图象关于点M对称，得取得得x=0，得=，=0 =，=0又0，得=+k，k=0，1，2， =（2k+1），k=0，1，2，当k=0时，=， f（x）= 在0，上是减函数；当k=1时，=2， f（x）= 在0，上是减函数；当k2时， f（x）= 在0，上不是单调函数所以，综合得：=或=2【评析】 本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力解答本题的关键是得到=式后，立即联想到点M的坐标（， 0 ）
13、，自然=0，最后，对求出的分类讨论，验证是否满足题意【例3】 已知函数f（x）= +b（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a0，x0，时，f（x）的值域是3，4，求a，b的值，【分析】 关键是把f（x）的表达式化成单角的三角函数【解】 （1）a=1，f（x） =sinx+cosx+b+1=+1+b，y=sinx的单调递增区间是2k， 2k+，kZ当2kx+2k+，即2k-x2k+，kZ时f（x）时是增函数，f（x）单调递增区间是2k， 2k+，kZ（2）由（1）得f（x）= +a+b，x0，x+，1a0， a-a，a0+a+bf（x）b，f（x）的值域是，a=1-，b=4【评析
14、】 在三角函数中，如求单调区间，值域，周期等问题，大都需要把函数解析式化为Asin（x+）的形式来处理【例4】 函数的y=asinx+bcosx+c图象上有一个最低点（，1）将图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位，得到y=f（x）的图象，且f（x）=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求f（x）的解析式和最小正周期【分析】 引入辅助角，把函数化为只含一个三角函数的基本形式；再按“横缩”“左移”两步骤，把函数化为f（x）的形式，然后根据题设条件，求出a、b、c，注意f（x）的正根是在x轴正半轴上的点，它们成等差数列，间隔一定相等【解】 原函数式可化为y=sin
15、（x+）+c其中满足cos=且sin=（，1）是它的最低点，解得=2k- （kZ），且=c-1y=（c-1）sin（x+2k-）+c=（c-1）sin（x-）+c=（c-1）sin（x-）+c将以上函数图象上的点的横坐标缩小为原来的倍，再向左平移1个单位得f（x） =（c-1）sin+c =（c-1）sin，周期T=6方程f（x）=3的正根就是直线y=3与y=f（x）的图象交点在x轴正半轴的横坐标，它们成等差数列，所以y=3与y=f（x）相邻交点间的距离都相等直线y=3满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x轴平行的直线l1；二是过图象最低点且和x轴平行的直线l2；三是和l1、l2都
16、平行且等距的直线l因为图象最低点（ ， 1 ），所以y=3不可能在l2的位置若y=3在l1的位置，此时，交点间隔相当于一个周期6，正根数列公差即为6，与公差为3矛盾，所以y=3不会在l1位置，y=3只能在l的位置当y=3在l位置时，（c-1）0+c=3，得c=3因而f（x）= 此时T=6，由sin=0，解得x=3k，正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意所以所求解析式为f（x）=2sin+3，周期为6【评析】 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再是用等差数列的条件时讨论不全方法技巧提炼1三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点2最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准
17、确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键3三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断第14课时 三角形中的三角函数主干知识整合1掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形2通过解三角形，提高运用所学知识解决实际问题的能力3高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用，这是高考命题的方向，望加以注意真题新题探究【例1】 2005年湖南已知在ABC中， sinA（sinB+cosB）sinC=0，sinB+cos2C=0，求角A、B、C的大小【解】
18、 解法一：由sinA（sinB+cosB）sinC=0得sinAsinB+sinAcosBsin（A+B）=0sinAsinB+sinAcosBsinAcosBcosAsinB=0即sinB（sinAcosA）=0B（0，），sinB0，从而cosA=sinA由A（0，），知A=，从而B+C=由sinB+cos2C=0，得sinB+cos2=0即sinBsin2B=0，亦即sinB2sinBcosB=0由此得cosB=，B=，C=A =，B=，C=【解】 解法二：由sinB+cos2C=0得sinB=cos2C=sin由B0，C，(B=)或B=2C即B+2C=或2CB=由sinA（sinB+c
19、osB）sinC=0得sinAsinB+sinAcosBsin（A+B）=0sinAsinB+sinAcosBsinAcosBcosAsinB=0即sinB（sinAcosA）=0sinB0，cosA=sinA由A（0，），知A=从而B+C=，知B+2C=不合要求再由2CB=，得B=，C=所以A=，B=，C=【评析】 本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用代换式sin（A+B）=sinC【例2】 2005年湖北在ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值【解】 解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DEAB，且DE=AB=，设BE=x在BDE中利用余弦定理可得：B
20、D2=BE2+ED22BEEDcosBED，5=x2+2x，解得x=1，x= （舍去）故BC=2，从而AC2=AB2+BC22ABBCcosB=，即AC=又sinB=，故 ，sinA=解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限由sinB=则， =设=（x，0）则=，由条件得=从而x=2， x= （舍去）故=，于是cosA=sinA=解法三：如图3141所示，过A作AHBC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连结AP、PC 过P作PNBC交BC的延长线于N，则 图3141HB=ABcosB=，AH=，BN= =，而CN=HB= BC=BNCN=2，HC=，AC=
21、故由正弦定理得，sinA=【评析】 解法一通过中位线，利用余弦定理和正弦定理求解；解法二通过建立坐标系，利用向量数量积求解；解法三构造图形，通过几何途径求解【例3】 已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）= ，sin （AB）= （1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高【分析】 利用两角和与两角差的正弦公式，可得到这两个角正切关系式，再根据三角形中内角和定理与平面几何知识，可求出所给角的正切值与已知边上的高（1）【证明】 由已知 +，得sinAcosB=，得cosAsinB=两式相除，得=2，即tanA=2tanB（2）A+B，又sin（A+B）= ，cos（A+B
22、）= ，tan（A+B）=即=，将tanA=2tanB代入此式，整理得，2tan2B4tanB1=0解得tanB=，舍去负值，tanB=，于是tanA=设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3，得CD=2+，故AB边上的高为2+【评析】 本题主要考查对两角和与两角差三角公式的掌握及运用能力，注意锐角三角形中隐含的条件，会把已知线段分解为被高线分成的两线段的和，从而得到所求的高的关系式是解决此题的重要一步【例4】 将一块圆心角为120，半径为20cm的扇形钢片裁出一块矩形钢片，如图3142中有两种裁法：使矩形一边在扇形的一条半径OA上，或者让矩形一边与弦AB平行，试问哪种裁法能使截
23、得的矩形钢片面积最大？并求出这个最大值图3142【分析】 依题意，利用平面几何知识与三角函数公式，分别求出两种裁法下所得矩形钢片的面积的最大值，然后比较两个最值的大小后作出结论【解】 如图甲，要使矩形面积最大，则O为其一顶点且另一顶点M在上，设MOA=，则矩形PMNO的面积S1=20sin20cos=200sin2，当=45时，S1有最大值，为200cm2；如图乙，设MOA=，在OMQ中，由正弦定理得QM=由图形的对称性知，AOB的平分线OC为其对称轴，于是MN=2OMsin（60），矩形PQMN的面积S2=QMMN=2sinsin（60）= 当=30时，S2有最大值为cm2，又200故用第二
24、种方法可截得的矩形钢片面积最大，最大面积为cm2【评析】 本题主要考查运用三角知识解决实际问题的最值能力，其中依题意，引入参数，列出矩形的面积的表达式是解题的关键方法技巧提炼1解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式2要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能第15课时 三角与平面向量的综合主干知识整合1平面向量的重点内容包括：向量的概念；向量加法及减法的定义及运算法则（三角形法则和平行四边形法则）；向量共线的充要条件；平面向量基本定理及应用；平面向量的坐标表示及应用；线段的定比分点坐标公式及应用；平面向量数量积的定义、运算律及应用2向量本身具有“数”与“
25、形”的双重身份，因此在解题中应充分运用数形结合的思想方法，三角形法则是向量加法和减法的根本法则，具体运用时要注意和向量与差向量的方向性平面向量的数量积为“向量”与“数量”之间架起了沟通的桥梁，只有掌握好平面向量数量积的定义及运算律，才能在解题中得心应手3利用向量的思想方法解决有关问题，如平行与垂直、夹角及平面几何的相关问题，突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点真题新题探究【例1】设函数f（x）=ab，其中向量a=（2cosx，1），b =（cosx，sin2x），xR（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c =（m，n）平移后得到函数y=f（x）的图象，求
26、实数m、n的值【解】 （1）依题设f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin由1+2sin=1，得sin=x，2x+，2x+=，即x=（2）函数y=2sin2x的图象按向量c =（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n的图象，即函数y=f（x）的图象由（1）得f（x）=2sin2+1|m|，m=，n=1【评析】 本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力【例2】 已知a、b是两个向量，且a=（1，cosx），b=（cos2x，sinx），xR，定义：y=ab（1）求y关于x的函数解析式y=f（x）及其单调递增区间；（2）若x，求函数
27、y=f（x）的最大值、最小值及其相应的x的值【分析】 利用向量的数量积的坐标运算公式：ab=x1x2+y1y2，易求出函数表达式，然后借助三角函数的基本性质来解题【解】 a=（1，cosx），b=（cos2x，sinx），ab=cos2x+cosxsinx=cos+y=cos+单调递增区间是（kZ）（2）由x，得2xcos1 f（x）min=0，此时x=；f（x）max=，此时x=【评析】 关键是抓住向量的基本运算，如用坐标运算表示向量的加、减法，表示向量平行、垂直的条件等【例3】 设a=（1+cos，sin），b=（1cos，sin），c=（1，0），（0，），（，2），a与c的夹角为1，b
28、与c的夹角为2，且12=，求的值sin【分析】 先由已知找到1、2与、关系，由12=，求得，进而求得sin的值【解】 由a=b=（0，），（，2）（0， ），（，），故|a|=2cos，|b|=2sin，cos1=cos，1=cos2= = sin =cos0，2= ，又12= ，+=， =，sin=sin=【评析】 计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美【例4】 已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P的坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan【分析】 先求，再由它们成公差
29、小于零的等差数列，求出点P的轨迹方程；再由与的数量积，求出cos；由三角函数公式，最后求得tan【解】 （1）设P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+x），=x2+y21，=2（1x）于是，是公差小于零的等差数列等价于即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆（2）若点P的坐标为（x0，y0），=x+y1=2| = = =2cos= = 0x0，cos1，0sin=，tan=|y0|【评析】 本题以向量为主线，将向量、三角函数、数列与解析几何等知识巧妙结合，是一个有一定难度的综合性试题方法技巧提炼1以向量作为载体，落脚于考查三角函数的求值、化简等问题，考查三角公式的运用，这是当前高考命题的一个热点，望复习时加以注意2对三角函数的复习应注意基础性，对向量的复习应注意综合性
