1、5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性 必备知识自主学习导思1.函数的单调性与导函数值的正负有关系吗？如果有，有何种关系？2函数图象的变化趋势与导数值的大小有何关系？1.函数f(x)的单调性与导函数f(x)正负之间的关系 在某个区间(a，b)上的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0函数f(x)在(a，b)上_f(x)0 是 f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？提示：充分不必要条件，如 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)3x20.(3)若函数 f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则 f(x)满足什么条件？提示
2、：f(x)0(或 f(x)0).2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数 f()x在某一范围内导数的绝对值为|f()x，则函数值的变化函数的图象越大在这一范围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”|f()x 某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？提示：不是导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数 f(x)在区间(a，b)上都有 f(x)0，则函数
3、 f(x)在这个区间上单调递减()提示：函数 f(x)在区间(a，b)上都有 f(x)0，所以函数 f(x)在这个区间上单调递减，故正确(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()提示：切线的“陡峭”程度与|f(x)|的大小有关，故错误(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()提示：函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点 f(x)0，不影响函数在此区间的单调性()提示：若 f(x)0(0)，则函数 f(x)在区间内单调递增(减)，故 f(x)0 不影响函数单调性2(教材练习改编)函数 f(x)e
4、xx 的单调递增区间为_【解析】因为 f(x)exx，所以 f(x)ex1.由 f(x)0 得，ex10，即 x0.所以 f(x)的单调递增区间为(0，).答案：(0，)3求函数 yx24xa 的单调区间【解析】y2x4，令 y0，得 x2；令 y0，得 x2，所以 yx24xa 的增区间为(2，)，减区间为(，2).关键能力合作学习类型一 导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)1函数 yf(x)的图象如图所示，则()A.f(3)0 Bf(3)0C.f(3)0 Df(3)的正负不确定【解析】选 B.由图象可知，函数 f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有 f(x)0，故 f(3
5、)0(f(x)0，解得的区间即为所求【解析】y2xexx2ex(x22x)ex，由 y0，ex0 得 x22x0，即 x0 或x2.答案：(，2)，(0，)在本例中条件不变，求其单调递减区间【解析】y2xexx2ex(x22x)ex，由 y0 得 x22x0，即2x0，函数 f(x)在区间(0，)上为增函数；当 a0 时，由 g(x)0 得 x 2a2或 x 2a2(舍去).当 x0，2a2时，g(x)0，即 f(x)0，即 f(x)0.所以当 a0 时，函数 f(x)在区间0，2a2上为减函数，在区间2a2，上为增函数综上，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(0，)；当 a0 时，
6、函数 f(x)的单调递增区间是2a2，单调递减区间是0，2a2.含有参数的函数单调性问题的处理方法(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了1函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是()A(，2)B(0，3)C(1，4)D(2，)【解析】选 D.因为 f(x)ex(x3)ex(x2)ex，由 f(x)0 得(x2)ex0，所以 x2.所以 f(x)的单调递增区间为
7、(2，).2讨论函数 f(x)12 ax2x(a1)ln x(a0)的单调性【解析】函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1a1xax2x（a1）x.(1)当 a0 时，f(x)x1x，由 f(x)0，得 x1，由 f(x)0，得 0 x1.所以 f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数(2)当 a0 时，f(x)axa1a（x1）x，因为 a0，所以a1a0.由 f(x)0，得 x1，由 f(x)0，得 0 x1.所以 f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数综上所述，当 a0 时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数类型三 与单调性有关的参数
8、问题(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数 f(x)x3ax1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围四步内容理解题意条件：f(x)x3ax1f(x)为单调增函数结论：求实数a的取值范围思路探求f(x)为单调递增函数f(x)0恒成立分离参数求a的范围四步内容书写表达由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是单调递增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0.题后反思若函数f(x)在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f(x)0(或f(x)0).已知函数
9、yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；(3)分离参数法由 f(x)0 或 f(x)0 将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数只要求出其最值，即可求参数范围1已知函数 f(x)x3ax2x1 在(，)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A.，3，3，B 3，3 C.(，3)，(3，)D(3，3)【解析】选 B.f(x)3x22a
10、x10 在(，)上恒成立，由 4a2120得 3 a 3.2若函数 ya(x3x)的单调递减区间为 33，33，则 a 的取值范围是()A.a0 B1a1 D0a1【解析】选 A.因为 y3ax2133ax 33x 33，当 33x 33时，x 33x 330.课堂检测素养达标1函数 yx42x25 的单调递减区间为()A(，1，0，1 B1，0，1，)C.1，1 D(，1)，1，)【解析】选 A.因为 y4x34x4x(x1)(x1)，所以令 y0，则有 x(x1)(x1)0，可得 x1 或 0 x0，解得 x1，故 f(x)的单调递增区间是(1，).答案：(1，)5求函数 f(x)3x22ln x 的单调区间【解析】函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)6x2x 2（3x21）x.令 f(x)0，即2（3x21）x0，因为 x0，所以 x 33，所以函数 f(x)的单调递增区间是33，.令 f(x)0，即2（3x21）x0，所以 0 x 33，所以函数 f(x)的单调递减区间是0，33.所以函数 f(x)的单调递增区间是33，单调递减区间是0，33.