1、第二章 基本初等函数（）2.1 指数函数 2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)1通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养2借助指数函数的定义域、值域的求法，提升逻辑推理素养.自 主 预 习 探 新 知 1指数函数的概念 一般地，函数(a0，且 a1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.yaxRx2指数函数的图象和性质,a 的范围a10a1 图象 定义域R 值域_ 过定点 ，即
2、当 x0 时，y 单调性在 R 上是 在 R 上是 奇偶性非奇非偶函数 性质对称性函数 yax 与 yax 的图象关于 对称(0，)(0,1)增函数减函数1y轴思考：(1)指数函数 yax(a0 且 a1)的图象“升”“降”主要取决于什么？(2)指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：(1)指数函数 yax(a0 且 a1)的图象“升”“降”主要取决于字母 a.当 a1 时，图象具有上升趋势；当 0a0 且 a1)，则由 f(3)8 得 a38，a2，f(x)2x，故选 B.4函数 yax(a0 且 a1)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_(1，)结合指数函数的性质可知，若 yax(
3、a0 且 a1)在R 上是增函数，则 a1.合 作 探 究 释 疑 难 指数函数的概念【例 1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()y(8)x；y2x21；yax；y23x.A1 B2C3D0(2)(教材改编题)已知函数 f(x)为指数函数，且 f32 39，则 f(2)_.(1)D(2)19(1)中底数80 且 a1 时，才是指数函数；中 3x 前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数，故选 D.(2)设 f(x)ax(a0 且 a1)，由 f32 39 得 a32 39，所以 a3，又 f(2)a2，所以 f(2)3219.1判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是
4、大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax 的系数必须为 1.2求指数函数的解析式常用待定系数法跟进训练1.已知函数 f(x)(2a1)x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是_12，1(1，)由题意可知2a10，2a11，解得 a12，且 a1，所以实数 a 的取值范围是12，1(1，)指数函数的图象的应用【例 2】(1)函数 f(x)axb 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0，且 a1)的图象过定点_(1)D(2)(3,4)(1)由于 f(x)的图象单调递减，所以 0a1，又 0f
5、(0)1，所以 0ab0，b0，且 a1)的图象过定点(3,4)指数函数图象问题的处理技巧 1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.跟进训练2如图，曲线 C1，C2，C3，C4 是指数函数 yax 的图象，而a23，13，5，则图象 C1，C2，C3，C4 对应的函数的底数依次是_，_，_，_.23 13 5 根据指数函数底数变化引起图象变化的规律知，C2 的底数C1 的底数1C4 的底数C3 的底数，又13 23 1 5，故图象 C1，C2，C3，C4
6、 对应的函数的底数依次是 23，13，5.3已知 f(x)2x 的图象，指出下列函数的图象是由 yf(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x1；(4)y2x；(5)y2|x|.解(1)y2x1 的图象是由 y2x 的图象向左平移 1 个单位得到(2)y2x1 的图象是由 y2x 的图象向右平移 1 个单位得到(3)y2x1 的图象是由 y2x 的图象向上平移 1 个单位得到(4)y2x 与 y2x 的图象关于 y 轴对称，作 y2x 的图象关于 y轴的对称图形便可得到 y2x 的图象(5)y2|x|为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，故先作出当 x0时，y2
7、x 的图象，再作关于 y 轴的对称图形，即可得到 y2|x|的图象指数函数的定义域、值域问题 探究问题1函数 y2x21 的定义域与 f(x)x21 的定义域什么关系？提示：定义域相同2如何求 y2x21 的值域？提示：可先令 tx21，则易求得 t 的取值范围为1，)，又y2t 在1，)上是单调递增函数，故 2t2，所以 y2x21 的值域为2，)【例 3】求下列函数的定义域和值域：(1)y 13x；(2)y12x22x3；(3)y4x2x12.思路点拨：函数式有意义原函数的定义域 指数函数的值域 原函数的值域 解(1)要使函数式有意义，则 13x0，即 3x130，因为函数 y3x 在 R
8、 上是增函数，所以 x0，故函数 y 13x的定义域为(，0 因为 x0，所以 03x1，所以 013x0，函数 y12x22x3的值域为(0,16(3)因为对于任意的 xR，函数 y4x2x12 都有意义，所以函数 y4x2x12 的定义域为 R.因为 2x0，所以 4x2x12(2x)222x2(2x1)21112，即函数 y4x2x12 的值域为(2，)1若本例(1)的函数换为“y13x1”，求其定义域解 由13x10 得13x130，x0，即函数的定义域为(，02若本例(3)的函数增加条件“0 x2”，再求函数的值域解 0 x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21
9、.令 2xt，则 t1,4，且 f(t)(t1)21，易知 f(t)在1,4上单调递增，f(1)f(t)f(4)，即 5f(t)26，即函数 y4x2x12 的值域为5,261函数 yaf(x)的定义域与 yf(x)的定义域相同 2函数 yaf(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令 tf(x)；(2)求 tf(x)的定义域 xD；(3)求 tf(x)的值域 tM；(4)利用 yat 的单调性求 yat，tM 的值域 3形如 yf(ax)的值域，要先求出 uax 的值域，再结合 yf(u)确定出 yf(ax)的值域课 堂 小 结 提 素 养 1核心要点：(1)判断一个函数是否为指数函数只需判
10、定其解析式是否符合 yax(a0 且 a1)这一结构形式(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大2数学思想：由于指数函数 yax(a0 且 a1)的定义域为 R，所以函数 yaf(x)(a0 且 a1)与函数 f(x)的定义域相同，求函数 yaf(x)的值域，可先求 tf(x)的值域，再根据函数 yat 的单调性确定 yaf(x)的值域，体现了整体的思想1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)yx2 是指数函数()
11、(2)函数 y2x 不是指数函数()(3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方()答案(1)(2)(3)2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcdDab1dcB 作直线 x1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知 ba1dc，故选 B.3函数 y112x的定义域是_0，)由 112x0 得12x1120，x0，函数 y112x的定义域为0，)4设 f(x)3x，g(x)13x.(1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图象；(2)计算 f(1)与 g(1)，f()与 g()，f(m)与 g(m)的值，从中你能得到什么结论？解(1)函数 f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)313，g(1)1313，f()3，g()133，f(m)3m，g(m)13m3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 y轴对称点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
