1、2.2圆的切线的判定和性质1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理及其推论.2.能解决与圆的切线有关的问题.基础初探教材整理1直线与圆的位置关系当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆_有唯一公共点时，称为直线和圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线和圆相交.1.如图1226，在RtABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r_.图1226【解析】过C作CDAB，垂足为D，在RtABC中，AB5，CDABACBC，CD2.4 cm，AB与圆相切，rCD2.4 cm.【答案】2.4 cm教材整理2切线的判定定理2.经过半径的外端并且垂直
2、于这条半径的直线是圆的切线.如图1228，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D，AB6，BC8，则BD等于()图1228A.4B.4.8C.5.2D.6【解析】BC是O的切线，AB是O的直径，ABBC，AB6，BC8，AC10，AB是O的直径，BDAC，ABBCACBD，BD4.8.【答案】B教材整理3切线的性质定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点.(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心.3.如图1228，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若A40，则APB等于()图1228A.25B.20C.40D.
3、35【解析】如图，连接OP，AP为圆O的切线，OPA90.A40，AOP904050.OPOB，OPB(18050)65.APBOPAOPB906525.【答案】A教材整理4切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等.4.如图1229所示，在ABC中，BC14 cm，AC9 cm，AB13 cm，内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F，那么AF，BD，CE分别为()图1229A.AF4 cm，BD9 cm，CE5 cmB.AF4 cm，BD5 cm，CE9 cmC.AF5 cm，BD4 cm，CE9 cmD.AF9 cm，BD4 cm，CE5 cm【解析】由题意知AEAF，CEC
4、D，BDBF，且AC9 cm，BC14 cm，AB13 cm，则，解得AF4，BD9，CE5.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型圆的切线的判定已知：AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，过点A作ADOC，交O于点D.求证：DC是O的切线. 【导学号：96990019】【精彩点拨】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：(1)过半径的外端；(2)该直线与某一条半径所在的直线垂直.【自主解答】如图，连接OD，设OAD1，ODA2，BOC3，COD4.OAOD，12.A
5、DOC，13，24.1234.又OBOD，34，OCOC.OBCODC.OBCODC.BC是O的切线，OBC90.ODC90，即ODCD.DC是O的切线.要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线.再练一题1.如图1230，已知AC是O的直径，OEAD.OFAB，E，F为垂足，OEOF.AC是AD和AB的比例中项.图1230求证：BC是O的切线.【证明】OEAD，OFAB，OEOF，12.又AC2ADAB，ACDABC，ACBADC.AC是O的直径，ADC90，ACB90
6、，BCAC，BC是O的切线.圆的切线的性质如图1231，已知C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，若BC5，AC12，求O的半径.图1231【精彩点拨】O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造RtOAE，再利用相似三角形的性质，求出O的半径.【自主解答】连接OE，AB与O切于点E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE.即O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形
7、相似求解等.再练一题2.如图1232，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)，求证：ABAC为定值.图1232【证明】如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE，因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径.从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值. 切线长定理及应用如图1233所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点.求ADE的面积.图123
8、3【精彩点拨】利用切线长定理建立长度关系求解.【自主解答】设DEx，则CE4x.CD，AE，AB都与O相切，EFCE4x.AFAB4.AEAFEF8x.在RtADE中，AE2AD2DE2，即(8x)242x2，解得x3.SADEADDE436(cm2).1.解答本题时应注意AFAB，EFEC，且AE2AD2DE2.2.当过圆外一点作圆的切线时，常常用到切线长定理.再练一题3.如图1234所示，P为O外一点，PA，PB分别切O于A，B，CD切O于E，交PA，PB于C，D，OP10，O的半径为6，求PCD的周长. 【导学号：96990020】图1234【解】连接OA，则OAPA且OA6，PA2OP
9、2OA21026264，PA8，由切线长定理知PAPB，CECA，DEDB，CDCEDECADB，PCPDCDPAPB2PA16，即PCD的周长为16.圆的切线的判定及性质定理的综合应用如图1235所示，已知等边ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E.过点D作DFAC，垂足为点F.图1235(1)判断DF与O的位置关系，并证明你的结论；(2)过点F作FHBC，垂足为点H.若等边ABC的边长为4，求FH的长(结果保留根号).【精彩点拨】(1)由已知DOB60，可得ODFAFD90，可得DF是O的切线.(2)先求FC，利用sinFCH可求FH.【自主解答】(1)DF与O相切.
10、连接OD.OBOD，ABC60，BOD是等边三角形.DOB60.ABC是等边三角形，ACB60.ACBDOB，则ODAC，ODFAFD90，DF是O的切线.(2)ODAC且O为BC的中点，D为AB的中点，ADBD2.又ADF30，AF1，FCACAF3.FHBC，FHC90.在RtFHC中，sinFCH，FHFCsin 60.即FH的长为.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.再练一题4.已知：如图1236，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OCBC，ACOB.图1236(1)求证：AB为O的切线
11、；(2)若ACD45，OC2，求弦CD的长.【解】(1)如图，连接OA，OCBC，ACOB，OCBCCAOA，ACO为正三角形，O60，B30，OAB90，AB为O的切线.(2)作AECD于点E，O60，D30.又ACD45，AC OC2，在RtACE中，CEAE，在RtADE中，D30，AD2，DE，CDDECE.探究共研型圆的切线的判定与性质探究1证明直线和圆相切有哪些方法？【提示】通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线.“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心
12、距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系，通常选取(3).探究2在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？【提示】(1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心.于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径.(2)圆的切线还有两条性质应当注意：切线和圆只有一个公共点；切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中，我们也利用它们来解决.探究3连接圆的两条平行
13、切线的切点的线段是圆的直径吗？【提示】是.如图，AB，CD分别切O于E，F，连接EO并延长交CD于F.AB是O的切线，OEAB.ABCD，OFCD.F为切点，F与F重合，即EF是O的直径.如1237所示，已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21，C45，ADB60，求证：AB是BCD的外接圆的切线.图1237【精彩点拨】【自主解答】如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.DCB是所对的圆周角，BOD是所对的圆心角，BCD45，BOD90.ADB是BCD的一个外角，DBCADBACB604515，DOC2DBC30，从而BOC120，OBOC，OBCOCB30.在OEC中，因为EOCEC
14、O30，OEEC，在BOE中，因为BOE90，EBO30.BE2OE2EC，ABOD，ABO90，故AB是BCD的外接圆的切线.判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.再练一题5.本例中，若将已知改为“ABDC”，怎样证明：AB是BCD的外接圆的切线.【证明】作直径BE，连接DE，BDE90BE是O的直径，EDBE90.CE，ABDC，A
15、BDDBE90.即ABE90.AB是BCD的外接圆的切线.构建体系1.如图1238所示，O是正ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则EPF等于()图1238A.120B.90C.60D.30【解析】如图所示，连接OE，OF.OEAB，OFBC，BEOBFO90.EOFABC180.EOF120.EPFEOF60.【答案】C2.如图1239，AB是半圆O的直径，BAC30，BC为半圆的切线，且BC4，则点O到AC的距离OD_. 【导学号：96990021】图1239【解析】BC为半圆的切线，ABBC.BAC30，BC4，AC8，AB12，OD3.【答案】33.如图1240，AB是O的直径，AE平分BAF交O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是O的切线.图1240【证明】如图，连接OE.OAOE，12.又AE平分BAF，23.13，OEAD.ADCD，OECD.CD与O相切于点E.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
