1、章末分层突破自我校对加法与减法乘法与除法复合函数导数的定义函数f(x)在点xx0处的导数是f(x)在x0点附近的平均变化率；当x趋于0时的极限，即f(x0)，这是数学上的“逼近思想”.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.利用导数的定义求函数y的导数.【精彩点拨】根据求导的步骤求解即可.【规范解答】y.再练一题1.设f(x)在x处可导，则()A.2f(h)B.f(x)C.f(x)D.4f(x)【解析】f(x).【答案】C导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求
2、“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【规范解答】(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)
3、在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626，得切点坐标为(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).再练一题2.已知函数f(x)xaln x(aR).当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程.【解】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.当a2时，f(x
4、)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.求函数的导数求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.求下列函数的导数.(1)y(1x2)cos x；(2)y2x；(3)ye.【精彩点拨】认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成
5、还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算.【规范解答】(1)y(1x2)cos x，y2xcos x(1x2)(sin x)2xcos xsin xx2sin x.(2)y2x，y2xln 22xln 2.(3)yeu，uax2bx.yyuuxeu(ax2bx)eu(2axb)(2axb)e.再练一题3.求下列函数的导数.(1)yx；(2)y；(3)y.【解】(1)yxx31，y3x2.(2)y3xx59x，y3(x)x59(x)x1x1.(3)yu，u1v2，vln x.yyuuvvxu2v2ln x.转化与化归思想为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的转化，以使问题易于理解
6、.本章中转化与化归思想主要体现在平均速度与瞬时速度的转化，平均变化率与瞬时变化率的转化.复合函数的导数f(x)f(u)(x)是利用两个简单函数导数的积求得，其中也体现了转化与化归思想.已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使ABP的面积最大.【精彩点拨】因为|AB|为定值，故使ABP的面积最大，只需求点P到AB的距离最大，问题转化为求平行于直线AB的切线的切点即可.【规范解答】设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图.由于直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大
7、，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y，y，由题意知kAB，所以kl，即x01，所以y01，所以P(1，1).再练一题4.已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离. 【导学号：94210052】【解】根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则当xx0时，y2x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.1.(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两
8、点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()A.ysin xB.yln xC.yexD.yx3【解析】若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于A：ycos x，若有cos x1cos x21，则存在x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于B：y，若有1，即x1x21，x0，不存在x1，x2，使得x1x21；对于C：yex，若有exex1，即exx1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.
9、【答案】A2.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】13.(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.【解析】法一：yxln x，y1，y2.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由消去y，得ax2ax2
10、0.由a28a0，解得a8.法二：同方法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y2ax0(a2).由解得【答案】84.(2015陕西高考)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.【解析】yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).【答案】(1，1)5.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x
11、0时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.【答案】y2x1章末综合测评(二)变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x21，那么该质点从x1到x2的平均速度为()A.4B.5C.6D.7【解析】6.【答案】C2.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A.1 B.C.D.1【解析】y2ax，于是切线斜率kf(1)2a，由题意知2
12、a2，a1.【答案】A3.下列各式正确的是()A.(sin )cos (为常数)B.(cos x)sin xC.(sin x)cos xD.(x5)x6【解析】由导数公式知选项A中(sin )0；选项B中(cos x)sin x；选项D中(x5)5x6.【答案】C4.设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a等于() 【导学号：94210053】A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12.a3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所
13、示，则其导函数f(x)的图像大致形状是()图1ABCD【解析】由图像知f(x)ax2c(a0)，f(x)2ax(a0，所以ex2，所以y1，0)，所以tan 1，0).又因为0，)，所以.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.设函数yf(x)是一次函数，若f(1)1，且f(2)4，则f(x)_.【解析】yf(x)是一次函数，设f(x)axb，f(x)a，则f(1)ab1，又f(2)a4.即a4，b3，f(x)4x3.【答案】4x314.若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_. 【导学号：9421
14、0054】【解析】y2x1，当x2时，y5.又P(2，6c)，5，c4.【答案】415.设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则_.【解析】f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)，f(a)(ab)(ac)，同理f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)，代入原式中得值为0.【答案】016.设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.【解析】f(x)sin (x)(x)sin (x)，f(x)f(x)cos(x)sin(x)2 cos，当f(x)f(x)为奇函数时，k，kZ，k，kZ，0，.【答案】三、解答题(本大
15、题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求下列函数的导数.(1)y3x2xcos x；(2)y；(3)y.【解】(1)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法一：y.法二：y.(3)yx12x25x3，yx22(2)x35(3)x4.18.(本小题满分12分)已知曲线yf(x)x38x2.(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l：ykx，求切线l的方程.【解】(1)f(x)x38x2，f(x)3x28，则f(0)8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y28(x0)
16、，即8xy20.(2)设切点为P(a，a38a2)，切线斜率k3a28，则切线方程y(a38a2)(3a28)(xa)，又因为切线过原点，所以0(a38a2)(3a28)(0a)，即2a320，所以a1，即切线l斜率为k5，切线l方程为y5x，即5xy0.19.(本小题满分12分)(2016广州高二检测)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.【解】(1)由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的
17、坐标为(1，4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为，因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.20.(本小题满分12分)(2016北京高考改编)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求过点(2，f(2)且与切线y(e1)x4垂直的直线方程l.【解】(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即(2)由(1)知kl，且f(2)2e2，y(2e2)(x2).即所求直线l的方程为yx2e2.21.(本小题满分12分)已知函数
18、f(x)aln xx2.(1)若a1，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)对于任意x2使得f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.【解】(1)当a1时，f(x)ln xx2，则f(x)2x，故在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)3，又f(1)1，即切点为(1，1)，故切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)当x2时，f(x)x，即2xx(x2)恒成立，即ax2在x2，)上恒成立.令tx2，当x2，)时，易知tmax4，为使不等式ax2恒成立，则a4，故实数a的取值范围为4，).22.(本小题满分12分)(2016无锡高二检测)已知两曲线f(x)x3ax，g(x)ax2bxc都经过点P(1，2)，且在点P有公切线.(1)求a，b，c的值；(2)设k(x)，求k(2)的值.【解】(1)依题意，即故f(x)x3x，g(x)x2bx1b，所以f(x)3x21，g(x)2xb，由于两曲线在点P(1，2)处有公切线，故f(1)g(1)，即42b，所以b2.故c1b1.(2)由(1)可得f(x)x3x，g(x)x22x1，故k(x)，故k(x).故k(2)33.
