1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1直线与圆的位置关系设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由xa2yb2r2，AxByC0基础诊断考点突破课堂总结消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法 位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离
2、dr0基础诊断考点突破课堂总结2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRr dRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的
3、公共弦所在的直线方程()基础诊断考点突破课堂总结2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，|a01|1212 2，即|a1|2，解得3a1.答案 C基础诊断考点突破课堂总结3(2014浙江卷)已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是()A2 B4 C6 D8解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1,1)，半径 r 2a，圆心到直线 xy20 的距离 d|112|2 2，故 r2d24，即 2a24，所以
4、 a4，故选 B.答案 B基础诊断考点突破课堂总结4(2014湖南卷)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19 C9 D11解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0)，半径 r11，圆 C2 的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆心 C2(3,4)，半径 r2 25m，从而|C1C2|32425.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即 125m5，解得 m9，故选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 2P133A9 改编)圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公共弦长为_解析 由x2y240，x2y24x4y120，得 x
5、y20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为 22 2.由勾股定理得弦长的一半为 42 2，所以，所求弦长为 2 2.答案 2 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 直线与圆的位置关系问题【例 1】(1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)直线y 33 xm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是()A(3，2)B(3，3)C.33，2 33D.1，2 33基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心O到直线axby1
6、的距离d|a0b01|a2b21a2b21，故直线与圆 O 相交(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d|m|13321，解得 m2 33(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 1m2 33.答案(1)B(2)D基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决基础
7、诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件基础诊断考点突破课堂总结(2)若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是()A.33，33B.33，0 0，33C.33，33D.，33 33，基础诊断考点突破课堂总结解析(1)若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34|22 2，即|a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 一定相切，故“a3”是“直线
8、yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分不必要条件基础诊断考点突破课堂总结(2)整理曲线 C1 的方程得，(x1)2y21，知曲线 C1 为以点C1(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆；曲线 C2 则表示两条直线，即x 轴与直线 l：ym(x1)，显然 x 轴与圆 C1 有两个交点，依题意知直线 l 与圆相交，故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d|m110|m21r1，解得 m 33，33，又当 m0 时，直线 l 与 x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去故选 B.答案(1)A(2)B基础诊断考点突破课堂总结考点二 圆的切线与弦长问题【例2】(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)
9、24的弦，其中最短弦的长为_(2)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_解析(1)设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则|PC|2，由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 2 22 222 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)将圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，则圆心为(3,4)，半径长为 5.由题意可设切线的方程为 ykx，则圆心(3,4)到直线 ykx 的距离等于半径长 5，即|3k4|k21 5，解得 k12或 k112，则切线的方程为 y12x 或 y112 x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分
10、别为(4,2)，45，225，此即为 P，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|4.答案(1)2 2(2)4基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知点 M(3,1)，直线 axy40 及圆(x1)2(y2)24.(1)求过 M 点的圆的切线方程；(2)若直线 axy40 与圆相切，求
11、a 的值；(3)若直线 axy40 与圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，求 a 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)圆心 C(1,2)，半径 r2，当直线的斜率不存在时，方程为 x3.由圆心 C(1,2)到直线 x3 的距离 d312r 知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0.由题意知|k213k|k212，解得 k34.圆的切线方程为 y134(x3)，即 3x4y50.故过 M 点的圆的切线方程为 x3 或 3x4y50.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意得|a24|a21 2，解得 a0 或 a43.(3)圆心到直线 a
12、xy40 的距离为|a2|a21，|a2|a2122 3224，解得 a34基础诊断考点突破课堂总结考点三 圆与圆的位置关系【例3】(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相离(2)过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 421 17.32d32，两圆相交(2)由x2y24xy1，x2y22x2y10，得 2xy0，代入得 x15或1，两圆两个交点为15，25，(1，2)基础诊断考点突破课堂总结过两
13、交点圆中，以15，25，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为35，65，半径为151 2252 222 55，圆方程为x352y65245.答案(1)B(2)x352y65245基础诊断考点突破课堂总结规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m_.(2)两圆x2y26x6y480与x2y24x8
14、y440公切线的条数是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)圆 C1 和圆 C2 的标准方程分别为(xm)2(y2)29，(x1)2(ym)24，圆心分别为 C1(m，2)，C2(1，m)，半径分别为 3,2.当两圆外切时，m12m225，解得 m2 或 m5.(2)两圆圆心距 66 64d 74 66 64，两圆相交，故有 2 条公切线答案(1)2 或5(2)2基础诊断考点突破课堂总结微型专题 与圆有关的探索问题此类问题通常是先假设符合要求的结论存在，再从条件出发利用与圆有关的性质进行求解，从而确定符合要求的结论存在或不存在基础诊断考点突破课堂总结【例4】已知圆C：x2y22x4y40.问在圆
15、C上是否存在两点A、B关于直线ykx1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由点拨 先假设存在，则直线ykx1过圆心，可求k，再由以AB为直径的圆经过原点可知kOAkOB1.可求直线AB的方程基础诊断考点突破课堂总结解 圆C的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为C(1，2)假设在圆C上存在两点A，B满足条件，则圆心C(1，2)在直线ykx1上，即k1.基础诊断考点突破课堂总结于是可知，kAB1.设 lAB：yxb，代入圆 C 的方程，整理得 2x22(b1)xb24b40，则 4(b1)28(b24b4)0，即 b26b90.解得33 2b33 2.
16、设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2b1，x1x212b22b2.由题意知 OAOB，则有 x1x2y1y20，也就是 x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.b24b4b2bb20，化简得 b23b40.解得 b4 或 b1，均满足 0，即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy10.基础诊断考点突破课堂总结点评 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点 A、B 关于直线对称，则直线过圆心(2)若以 AB 为直径的圆过原点，则OAOB.转化为OA OB 0.基础诊断考点突破
17、课堂总结思想方法1解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径r 构成直角三角形，即 r2l22d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x2或|AB|11k2|y1y2|11k2 y1y224y1y2.基础诊断考点突破课堂总结2过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为1k，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证基础诊断考点突破课堂总结易错防范1过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏特别当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况2讨论两个圆的位置关系时，特别是在讨论两个圆相交的公共弦问题时，要注意必须是在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.
