1、学业分层测评(十六)(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1(2016河南中原联考)过抛物线 yax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AF、BF 的长分别为 m，n，则 mnmn等于()A.12a B 14aC2aDa4【解析】抛物线 yax2(a0)的标准方程 x21ay2p1a，p 12a，1m1n2p4a mnmn11m1n 14a.【答案】B2(2016全国甲卷)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 ykx(k0)与 C交于点 P，PFx 轴，则 k()A.12 B1 C32 D2【解析】y24x，F(1,0)又曲线 ykx(k0)与 C 交于
2、点 P，PFx 轴，P(1,2)将点 P(1,2)的坐标代入 ykx(k0)得 k2.故选 D.【答案】D3设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y22px(p0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与 x 轴正向的夹角为 60，则|OA|为()A.214 pB 212 pC.136 pD1336p【解析】如图所示，设 A(x0，y0)，|FB|m，AFB60，|AF|2m，|AB|3m，x0mp2y0 3m由抛物线的定义|AF|x0p2mp2mmp，mp，A32p，3p，|OA|x20y2094p23p2 212 p.【答案】B4过点 P(4,4)与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线有()A0
3、 条B1 条C2 条D3 条【解析】当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为 y4k(x4)，由y4kx4，y22x，得：ky22y88k0.当 k0 时，解得：y4，故直线与抛物线交于点(8,4)，当 k0 时，由 44k(88k)0 得：k2 24，故有两条直线与抛物线相切，故符合条件的直线有 3 条【答案】D5设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|()A9B6C4D3【解析】设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由FAFBFC0，得 xAxBxC3.|FA|FB|FC
4、|xAp2xBp2xCp2332p33226.【答案】B二、填空题6已知抛物线的离心率为 e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为_【解析】由 e1，得焦点为(0,1)，抛物线的标准方程为 x24y.【答案】x24y7已知 A(2,0)，点 B 为抛物线 y2x 上的一点，求|AB|的最小值为_【解析】设点 B(x，y)，则 xy20，所以|AB|x22y2 x22xx23x4x32274，所以当 x32时，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值为 72.【答案】728(2016长沙高二检测)已知定点 A(3,0)，B(3,0)，动点 P 在抛物线 y22x上移动，则PAPB的最小值等于_【
5、导学号：32550080】【解析】设 P(x0，y0)则 y202x0，x00，PAPB(3x0，y0)(3x0，y0)x20y209x202x09，当 x00 时，PAPBmin 9.【答案】9三、解答题9抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x24y291 短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及准线方程【解】椭圆x24y291 的短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴设抛物线的标准方程为 y22px 或 y22px(p0)，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，p23，即 p6.抛物线的方程为 y212x 或 y212x，准线方程分别为 x3 或 x3.10若抛物线 y2
6、2px(p0)上有一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和6，求点 M 的横坐标【解】点 M 到对称轴的距离为 6，设点 M 的坐标为(x，6)点 M 到准线的距离为 10，xp210，622px，解得x9，p2或x1，p18.，即点 M 的横坐标为 1 或 9.能力提升1过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 为原点，若|AF|3，则AOB 的面积为()A.22 B 2C.3 22D2 2【解析】设AFx(0)及|BF|m，则点 A 到准线 l：x1 的距离为 3，得 323cos，则 cos 13.又 m2mcos()，则 m21cos 32，所以AO
7、B 的面积为 SAOB12|OF|AB|sin 121(332)2 23 3 22.【答案】C2如图 3-2-2，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()图 3-2-2Ay29xBy26xCy23xDy2 3x【解析】如图，分别过 A，B 作 AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接 A1F，则AA1F 为等边三角形，过点 F 作 FF1AA1 于点 F1，
8、则 F1 为 AA1 的中点，设 l 交 x 轴于点 K，则|KF|A1F1|12|AA1|12|AF|，即p32，抛物线方程为 y23x，故选 C.【答案】C3(2016山东济南期末考试)已知定点 Q(2，1)，F 为抛物线 y24x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P 的坐标为_【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即需 D，P，Q 三点共线时|PQ|PF|最小将Q(2，1)的纵坐标代入 y24x 得 x14，故 P 的坐标为14，1.【答案】14，14过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴求证：直线 AC 经过原点 O.【证明】如图，抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 xmyp2，代入抛物线方程得 y22pmyp20，若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根，所以 y1y2p2.BCx 轴，且点 C 在准线 xp2上，点 C 的坐标为p2，y2，故直线CO 的斜率为 k y2p22y2py1x1，即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O.
