1、直线与平面平行【例1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.11111111111/./1/MEBCBBENFADABFEFEFAA B BMEB M NFBNBCB CADBDABCDA B C DCMDNB MNBMEBNNFB CBDMENFBCBDADMEBCADNFMEFNMNEFMNAA如图，作，交于，作，交于，连结，则平面易得，在正方体中，所以又，所以，所以又，所以四边形为平行四边方法：形，所【证明】以，所以平面11.B B111111111111././2.CNBAPB PB PAA B BNDCNNDCN
2、BPNBPNCMDNB CBDCMDNCNMNB PMBNBNPB PAA B BMNAA B B如图，连结并延长交所在直线于点，连结，则平面因为，所以又，所以，所以因为平面，所以平面方法：1111111111/./.,/.3/MPBBBCPNPCMCPMPBBMBPBBDB CDNCMCMDNCPDNB MBNMBNBPBNBNPCDABMNPAA B BMNAA B B如图，作，交于点，连结因为，所以因为，所以，所以所以所以，所以平面平面，所以平面方法：(1)欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找这条“目标直线”，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡寻找方法一是将线段
3、平移到已知平面(如方法1)；寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影(如方法2)(2)若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线(如方法3)【变式练习1】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E分别是BC、B1C1的中点求证：(1)DE平面ACC1A1；(2)平面A1EB平面ADC1.11111111111111/./1/.BCC BBBCCDEBCB CDECCCCACC ADEACC ADEACC A在侧面中，又因为点、分别是、的中点，所以又平面，平面，所以平面【证明】11111
4、11111111111111111/./.2DECCDECCAACCDEAAADEAADA EADADCA EADCA EADCBDC EBDC EBDC EBEDCDCADCBEADCBEADCBEA EEBE由知，且，又，所以，所以四边形是平行四边形所以，又平面，平面，所以平面因为且，所以四边形是平行四边形所以，又平面，平面，所以平面因为，平面11111/.A EBA EA EBA EBADC，平面，所以平面平面与平行有关的探索性问题【例2】如 图，在 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中，已知DC2AB，ABDC，设E是DC上一点，试 确 定 E 点 的 位 置，使D1E平面A1BD
5、.1111111111111111/././1/.EDCD EA BDDEABDEABABEDBEADBEADA DBEBEA DA D EBD EA BA BA BDD EA BDD EA BD设 是的中点，则平面因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故四边形为平行四边形，所以又方【解析】平面，平面，所以平面法：1111111111111111/././.2/./DA DADHHBDDCED EA BDD HA DD HA BDHEA BDD HEHHA BDD HED ED HED EA BD过作的平行线交的延长线于，过 作的平行线交于，则平面证明：因为，所以平面同理，平面，又，所以平
6、面平面又平面，所以平面方法：这是一道探索性问题，常先确定E的位置，再进行证明而确定E的位置，可在过点D1且与平面A1BD的平行平面内中(如方法2)，或与平面A1BD内直线平行的直线中(如方法1)，找出确定的点E.【变式练习2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA平面MQB.1/.3./.11.2323/./.tPAMQBACACBQOOMAOQCOBADBCAOQCOBAOAQAOOCCBACCAPCOMCOCMACPOCMCACPCAPCOMCPACMOAPOMOMMQBPAMQBPAMQB当 时，
7、平面连结，设，连结在与中，因为，所以所以，所以在与中，因为，所以，所以，所以因为平面，平面，所析平面【】以解1.给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线同时平行于两个不重合的平面，那么这两个平面平行；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条平行线，那么这两个平面互相平行其中真命题的序号是_.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是AC上一动点，P、Q分别为DD1、CC1的中点，则平面AOP与平面BQD1的位置关系是_.平行 3.已知在三棱锥PABC中，点M、N分
8、别是PAB和PBC的重心，若ACa，则MN_.213223221.33321PMABDPNBCEDEMNPABPBCPMPNDEPDPEACMNACaDEMNDEACa连结并延长交于点，连结并延长交于点，连结因为点、分别是和的重心，所以，所以，因为，所以【解析】4.在四面体ABCD中，M、N分别是ACD和BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.平面ABC和平面ABD.2/.1/./.DMDNACBCQPMNACDBCDPQBCACDMDNMNPQMQNPMNABCPQABCMNABCMNABD如图所示，连结、，并延长分别与、相交于点、因为、分别是和的重心，所以、分别是、的中点，且，所
9、以而平面，平面，所以平面同理可得平面【解析】5.如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ.求证：PQ平面CBE././1/,.PMABBEMQNABBCNPMEPPMQNABEAQNBQCDBDAPDQABCDEABDPMQNPMNQPQMNPQCBEMNCBEPQCBE如图，作交于，作交于则，且又，所以所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，故平面【明】方法：证/././.,/././2/.PRBEABRRQPRCBEBECBEPRCBEAPARPRBEAEABARDQAEBDAPDQABDBRQADRQBC
10、RQBCRQCBEBCCBERQCBEPRRQRPRQCBEPQ如图，作交于，连结因为平面，平面，所以平面因为，所以又因为两矩形全等，所以又，故从而，所以因为，平面，平面，所以平面又方法，所以平面平面因为：平/.PRQPQCBE面，所以平面().,.,/./.3AQBCGEGAQDQADQGBQQGQBAQDQAGDBDQAPDBAEAQAPPQEGAGAEPQCBEEGCBEPQCBE如图，连结并延长与或其延长线 相交于点，连结易知，所以即因为，所以所以又平面，平面，所以平面方法：1/.2/3“”“”ababaababO证明直线与平面平行的步骤是：说明；寻找；证明；由线面平行的判定定理得利用
11、面面平行判定定理证明面面平行时注意，这三个条件缺一不可证明平行问题时要注意 转化思想 的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现 空间问题 与 平面问题 之间的转化23,_1_SABCBCSBDESASBQABSQCDECDE正三棱锥 中，、分别是棱、上的点，为边的中点，平面，则三角形的面积为联(2010泰州市期末考)104答案：选题感悟：本题以正三棱锥为载体，设计了线面垂直的判断和计算问题，突出考查了考生空间想象能力和计算推理能力2(2010苏北四市期末卷)如图，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1
12、C中点求证：(1)直线FM平面A1EB；(2)平面A1FC平面A1BC.1111111111111/22/12.1/A BNNENMMNBCEFBCMNFEMNEFFMENFMA EBENA EBFMA EBEFABACA FFCFMACENA BFMENFMA BACA BAFM取中点，连结，则，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以直线平面因为，分别为和的中点，所以，所以，同理，由知，所以，又因为【，所以解析】1111.A BCFMA FCA FCA BC平面，又因为平面，所以平面平面选题感悟：本题以空间中的线面、面面位置关系组成一道中档题着重考查考生对空间位置关系的观察、分析、抽象和推理论证的能力
