1、学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在ABC中，|3，|5，|7，则的值为()AB.CD【解析】由余弦定理cos C，|cos C35.【答案】C2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A.BC.D【解析】由正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，所以sin(AC)，即sin B，但B不是最大角，所以B.【答案】A3E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tan ECF()图224A.BC.D【解析】设AC1，则AEEFFBAB.由余弦定理得
2、CECF，所以cosECF，tanECF.【答案】D4如图225，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()图225A.BC.D【解析】设ABc，则ADc，BD，BC，在ABD中，由余弦定理得cos A.则sin A，在ABC中，由正弦定理得，解得sin C.【答案】D5(2016宝鸡高二检测)若ABC的周长为20，面积为10，A60，则a等于()A5B6C7D8【解析】Sbcsin Abc10，bc40，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bc，a2(20a)2120，a7.【答案】C二、填空题6在ABC中，角A，B，C所对
3、的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为_【解析】因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cos B.【答案】7在ABC中，AB，点D是BC的中点，且AD1，BAD30，则ABC的面积为_【解析】D为BC的中点，SABC2SABD2|AB|AD|sinBAD21sin 30.【答案】8如图226所示，已知圆内接四边形ABCD中AB3，AD5，BD7，BDC45，则BC_.图226【解析】cos A，A120，C60.从而，BC.【答案】三、解答题9如图227
4、，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长图227【解】在BAD中，设BDx.则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，解得x16，即BD16，又，BCsin 308.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60，b4，求ABC的面积【解】(1)证明：acos2ccos2acb，即a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理得sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asi
5、n Csin(AC)3sin B，sin Asin C2sin B，由正弦定理得ac2b，所以a，b，c成等差数列(2)由B60，b4，及余弦定理得42a2c22accos 60，(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，ABC的面积Sacsin Bacsin 604.能力提升1在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A.B.C.D【解析】设ABc，在ABC中，由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos B，即7c2422ccos 60，c22c30，即(c3)(c1)0，又c0，c3.设BC边上的高等于h，由三角形面积公式SAB
6、CABBCsin BBCh，知32sin 602h，h.【答案】B2如图228所示，四边形ABCD中，ABCBCD120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()图228A.B5C6D7【解析】连接BD，在BCD中，BD2.CBD(180BCD)30，ABD90，S四边形ABCDSABDSBCDABBDBCCDsin BCD4222sin 1205.【答案】B3在ABC中，B，AC，则AB2BC的最大值为_【解析】在ABC中，根据得ABsin Csin C2sin C.同理BC2sin A，因此AB2BC2sin C4sin A2sin C4sin4sin C2cos C2sin(C)，因此AB2BC的最大值为2.【答案】24如图229所示，是半径为r的圆的一部分，弦AB的长为r，C为上一点，CDAB于D，问当点C在什么位置时，ACD的面积最大，并求出这个最大面积【导学号：67940041】图229【解】OAOBr，ABr.AOB是等腰直角三角形，且AOB90.ACB135.设CAD(045)，则ABC45.在ABC中，AC2rsin(45)，在ACD中，CDACsin ，ADACcos ，SACDAC2sin cos 2r2sin2(45)sin cos 2r2sin 2r2(1sin 2)sin 2r22r2r2，当sin 2，即2，时，SACD取得最大值且最大值为r2.
