1、第4课直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6a4 2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .【范例导析】例1.已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）
2、y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由得 即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径）， 点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC， l的方程为2xy5=0.点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a
3、、b间满足的等量关系.例2解：连结PO、PC，|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为: . 例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.求圆C的方程.解：设圆C半径为，由已知得： ，或 圆C方程为. 例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；xyOABl2l1l(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标例4解：（1）直线设.
4、的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为. 即.已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，故所求圆C的方程为. （2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为.此时由,得. 【反馈练习】1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为2.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是3.设m0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为.d-r=-=(m-2+1)=(-1)20,直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)
5、2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为 6.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为7.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 1 . 8.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖(1)试求圆的方程.(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. (2)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是, 即 解得:.所以直线的方程是:. 第 - 4 - 页
