1、章末综合测评(一)立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA【解析】若直线lA，显然有l，Al，但A，故C错【答案】C2下列说法中，正确的是()A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行【解析】A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交【答案】C3已知水平放置的ABC是
2、按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC的面积是()图1A.B2C. D.【解析】由题图可知，原ABC的高为AO，SABCBCOA2，故选A.【答案】A4下列四个命题判断正确的是()A若ab，a，则bB若a，b，则abC若a，则a平行于内所有的直线D若a，ab，b，则b【解析】A中b可能在内；B中a与b可能异面；C中a可能与内的直线异面；D正确【答案】D5已知一个圆锥的展开图如图2所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A. B.C. D.【解析】因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.【答案】A6.如
3、图3所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3AAC BBDCA1DDA1D1【解析】CE平面ACC1A1，而BDAC，BDAA1，所以BD平面ACC1A1，所以BDCE.【答案】B7正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A. B.C. D.【解析】连接BD1，则BD1EF，BD1A是异面直线AD1与EF所成的角ABAD1，cosBD1A.【答案】C8如图4所示，则这个几何体的体积等于()图4A4 B6C8D12【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作SABCD，其中SA平面ABCD，SA2，AB2
4、，AD2，CD4，且ABCD为直角梯形，DAB90，VSA(ABCD)AD2(24)24，故选A.【答案】A9如图5，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()图5ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60【解析】由于BDB1D1，易知BD平面CB1D1；连接AC，易证BD平面ACC1，所以AC1BD；同理可证AC1B1C，因BDB1D1，所以AC1B1D1，所以AC1平面CB1D1；对于选项D，BCAD，B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45，故D错【答案】D10(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组
5、成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图6所示若该几何体的表面积为1620，则r() 【导学号：10690038】图6A1 B2C4D8【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.【答案】B11(2016天津模拟)如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图7BDAC；BCA是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是
6、()A BCD【解析】由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错故选B.【答案】B12已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B.C. D.【解析】由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2
7、，高OD，VSABC2VOABC2.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS6，CS12，则SD_.【解析】由面面平行的性质得ACBD，解得SD9.【答案】914如图8所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是_图8【解析】连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BDDCa，BCACa，所以BDC90.【答案】9015若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_【解析】球的
8、直径等于正六棱柱的体对角线的长设球的半径为R，由已知，可得2R2，R.所以球的体积为R3()34.【答案】416将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论ACBD；ACD是等边三角形；AB与CD成60的角其中说法正确的命题序号是_【解析】如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确；设正方形的边长为a，则AECEa.由知，AEC是直二面角ABDC的平面角，且AEC90，ACa，ACD是等边三角形，故正确；如图所示，分别取BC、AC的中点G、F，连接EG、GF、EF，则EGCD，GFAB，EG
9、F就是AB与CD所成的角由题意EGGFEF，EFG是等边三角形，EGF60，故正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC4 cm，求这个正四棱锥的体积图9【解】连接AC、BD相交于点O，连接VO，ABBC2 cm，在正方形ABCD中，求得CO cm，又在直角三角形VOC中，求得VO cm，VVABCDSABCDVO4(cm3)故这个正四棱锥的体积为cm3.18(本小题满分12分)如图10所示，P是ABCD所在平面外
10、一点，E，F分别在PA，BD上，且PEEABFFD.求证：EF平面PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在ABCD中，易证BFGDFA，EFPG.而EF平面PBC，PG平面PBC，EF平面PBC.19(本小题满分12分)(2015全国卷)如图11，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形图11(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值【解】(1)交线围成的正方形EHGF，如图：(2)作EMAB，垂
11、足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S(410)856，S(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.20(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M.图12【证明】由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1.在RtB1C1M中，B1M，同理BM，又B1B2，所以B1M2BM2B1
12、B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.21(本小题满分12分)如图13，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点图13(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)求证：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值【解】(1)在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以P
13、B和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC，又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，AE平面PCD.(3)过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.22(本小题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图14所示图14(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明
14、：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论【解】(1)几何体的直观图如图四边形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BC1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，其体积V1.(2)证明：ACB90，BCAC.三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1.ACCC1C，BC平面ACC1A1，BCA1C.B1C1BC，B1C1A1C.四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，EFAB1.AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.FDB1C1，FD平面AB1C1，又EFFDF，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.
