1、2015-2016学年四川省成都市龙泉一中高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1椭圆+=1的离心率为（）ABCD2“m=1”是“直线xmy+m+1=0与圆x2+y2=2相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2BCD24已知命题p：x0R，使得，则p为（）A对xR，都有ex0B对xR，都有ex0Cx0R，使得ex0D对xR，都有ex05双曲线上
2、一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（）A22或2B7C22D26曲线=4sin（+）与曲线的位置关系是（）A相交过圆心B相交不过圆心C相切D相离7已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）在抛物线上，且2x3=x1+x2，则有（）A|FP1|+|FP2|=|FP3|BC2|FP3|=|FP1|+|FP2|D8方程表示椭圆的必要不充分条件是（）Am（1，2）Bm（4，2）Cm（4，1）（1，2）Dm（1，+）9已知双曲线=1（a0，b0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点若OM
3、ON，则双曲线的离心率为（）ABCD10（文科）已知F1、F2是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，则的取值范围是（）A（，1）B（，+）C，+）D（1，11已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A、B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为，则的值为（）ABCD212若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若“x0，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为14已知圆C：x2+y2+6x+8y+2
4、1=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为15以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，曲线C3的参数方程为（为参数，且），则曲线C1、C2、C3所围成的封闭图形的面积是16过椭圆的一个焦点F作弦AB，若|AF|=m，|BF|=n，则=三、解答题（共6个答题，70分）17已知命题P：“对任意x1，2，x2a0”，命题q：“存在xR，x2+（a1）x+10”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围18已知双曲线过点，离心率为（1）求双曲线的标准方程和焦点坐标；（2）已知点P在双曲线
5、上，且F1PF2=90，求点P到x轴的距离19已知椭圆C的对称中心为原点且焦点F1、F2在x轴上，离心率，短轴长为4，（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F2作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，求AF1B的面积20已知抛物线C；y2=2px（p0）过点A（1，2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点（）求椭圆C的方程；（）已知
6、圆M：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由22在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy+4=0，曲线C的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值2015-2016学年四川省成都市龙泉一中高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1椭圆+=1的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的
7、简单性质【分析】根据已知的椭圆的方程即可求出a，c，根据椭圆离心率的定义：e=，即可求得离心率【解答】解：根据椭圆的标准方程知：a=4，b=，；该椭圆的离心率为：故选A2“m=1”是“直线xmy+m+1=0与圆x2+y2=2相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】判断是充分条件，还是必要条件，根据充分条件与必要条件的定义即可而直线与圆是否相切，就看圆心到直线的距离，距离等于圆的半径，则相切，否则不相切而直线若和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径明白了这些，这道题就容易求解了【解答】解：（1）m=1时，直线方程
8、为：xy+2=0，则圆心（0，0）到这条直线的距离为：，又圆的半径为，直线与圆相切m=1是直线与圆相切的充分条件（2）若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，即m22m+1=0，m=1；m=1是直线与圆相切的必要条件综上得出m=1是直线与圆相切的充要条件故答案选：C3已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2BCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线
9、的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a=2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2故选：D4已知命题p：x0R，使得，则p为（）A对xR，都有ex0B对xR，都有ex0Cx0R，使得ex0D对xR，都有ex0【
10、考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题p：x0R，使得是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，得p：对xR，都有ex0故选：A5双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（）A22或2B7C22D2【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，利用双曲线的定义|PF1|PF2|=2a=10，即可求得答案【解答】解：设双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，则a=5，b=3，c=，不妨令|PF1|=12（12a+c=5+），点P可能在左支，也可能在右支，由|PF1|PF2|=2a=10得：|12|PF
11、2|=10，|PF2|=22或2点P到另一个焦点的距离是22或2故选A6曲线=4sin（+）与曲线的位置关系是（）A相交过圆心B相交不过圆心C相切D相离【考点】参数方程化成普通方程【分析】先应用x=cos，y=sin，将曲线=4sin（+）化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简曲线为直线x+y1=0，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系【解答】解：曲线=4sin（+）=2（sin+cos），化为直角坐标方程为：x2+y22x2y=0即（x1）2+（y1）2=2，圆心为（1，1），半径为，曲线化为普通方程为直线x+y1=0，则圆心到直线的距离为=，故直线与
12、圆相交且不过圆心故选B7已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）在抛物线上，且2x3=x1+x2，则有（）A|FP1|+|FP2|=|FP3|BC2|FP3|=|FP1|+|FP2|D【考点】抛物线的简单性质【分析】把等式2x3=x1+x3两边同时加p，整理得2（）=（）+（），进而根据抛物线的定义可得2|FP3|=|FP1|+|FP2|【解答】解：2x3=x1+x2，2x3+p=x1+x2+，即2（）=（）+（），由抛物线定义可得2|FP3|=|FP1|+|FP2|，故选：C8方程表示椭圆的必要不充分条件是（）Am（1，2）Bm（
13、4，2）Cm（4，1）（1，2）Dm（1，+）【考点】椭圆的标准方程【分析】由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论【解答】解：方程表示椭圆的充要分条件是，即 m（4，1）（1，2）由题意可得，所求的m的范围包含集合（4，1）（1，2），故选：B9已知双曲线=1（a0，b0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意可得|MF|=|OF|，再利用双曲线的几何性质表示出a，b，c的关系式，进而
14、求得a和c的关系，则双曲线离心率可得【解答】解：设右焦点为F，由条件可得，由e1可得，故选D10（文科）已知F1、F2是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，则的取值范围是（）A（，1）B（，+）C，+）D（1，【考点】椭圆的简单性质【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，在PF1F2中，根据边和角的值，由余弦定理可得：4c2=m2+n2+mn=（m+n）2mn=4a2mn，所以得到，即：4b2a2，所以就能求出的范围了【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a，|F1F2|=2c，F1PF2=120；在PF1F2中，根据余
15、弦定理得：4c2=m2+n22mncos120=m2+n2+mn=（m+n）2mn=4a2mn；mn=4a24c2=4b2，；4b2a2，3b2a2b2，；，的取值范围是故选C11已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A、B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为，则的值为（）ABCD2【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），由题意可得，的值，将A，的坐标代入椭圆方程得到两式相减可得m（x1x2）（x1+x2）+n（y1y2）（y1+y2）=0，将值代入求出的值【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0）
16、，由题意可得=， 因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1两式相减可得m（x1x2）（x1+x2）+n（y1y2）（y1+y2）=0 所以，即，所以故选A12若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btan），其中为锐角，求出直线OP方程：y=x设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得因为不存在点P使得
17、对称点Q在y轴上，所以不存在，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c22a2，离心率满足得到正确答案【解答】解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btan），其中为锐角，直线OP的斜率为k=，可得直线OP方程为y=x，设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），消去y1得：（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，将此方程进行变量分离，得：0sin21而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在，使x1=0满足（*）式成立综上所述，可得，即，可得c22a2，离心率双曲线中，ca离心率e1，可得故选
18、C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若“x0，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为1【考点】命题的真假判断与应用【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围【解答】解：“x0，tanxm”是真命题，可得tanx1，所以，m1，实数m的最小值为：1故答案为：114已知圆C：x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】求出圆的圆心C的坐标，利用抛物线定义，当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，求解即可【解答】解：由题意得圆的方程为（x+3）2+（
19、y+4）2=4，圆心C的坐标为（3，4）由抛物线定义知，当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即m+|PC|=故答案为：15以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，曲线C3的参数方程为（为参数，且），则曲线C1、C2、C3所围成的封闭图形的面积是【考点】参数方程化成普通方程【分析】分别将参数方程和极坐标方程转化为普通方程，函数图象，从而求出满足条件的封闭图形的面积【解答】解：曲线C3的参数方程为（为参数，且），化为普通方程：x2+y2=4（x0，2，y2，2），曲线C1、C2的极坐标方程分别为，即x轴，y=x，如图示：，故阴影部分的面积是：
20、4=，故答案为：16过椭圆的一个焦点F作弦AB，若|AF|=m，|BF|=n，则=3【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的标准方程得出a=6，b=2，c=4，e=，焦点到准线的距离p，结合此椭圆的极坐标方程为：=，设A（m，），B（n，+），求出m，n即可求得【解答】解：椭圆的a=6，b=2，c=4，e=，焦点到准线的距离p=则此椭圆的极坐标方程为：=，设A（m，），B（n，+），则|AF|=m=，|BF|=n=，则=3，故答案为：3三、解答题（共6个答题，70分）17已知命题P：“对任意x1，2，x2a0”，命题q：“存在xR，x2+（a1）x+10”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，
21、求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】根据二次函数的最值，一元二次不等式解的情况和判别式的关系即可求出p：a1，q：a1，或a3，而根据“p或q”为真，“p且q”为假知道p真q假，或p假q真两种情况，所以求出每种情况的a的取值范围并求并集即可【解答】解：由命题p知，x2在1，2上的最小值为1，p：a1；由命题q知，不等式x2+（a1）x+10有解，=（a1）240；a3或a1；即q：a3，或a1；若“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q一真一假；1a1，或a3；实数a的取值范围为1，1（3，+）18已知双曲线过点，离心率为（1）求双曲线的标准方程和焦点坐标；（2）已知点P在双曲线上
22、，且F1PF2=90，求点P到x轴的距离【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）由题意可得： =1，c2=a2+b2，联立解得即可得出（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨假设mn可得mn=2，m2+n2=，利用三角形面积公式可得：点P到x轴的距离=【解答】解：（1）由题意可得： =1，c2=a2+b2，联立解得：a=b=1，c=双曲线的标准方程为x2y2=1，焦点坐标为（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨假设mn则mn=2，m2+n2=，mn=2，点P到x轴的距离=19已知椭圆C的对称中心为原点且焦点F1、F2在x轴上，离心率，短轴长为4，（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右
23、焦点F2作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，求AF1B的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）通过设椭圆C的方程为： +=1，利用e=可知a2=20，进而可得结论；（2）通过（1）及直线AB的斜率可知直线AB方程为y=2（x2），利用点到直线的距离公式可求得点F1到直线AB的距离|F1C|，通过联立直线AB与椭圆C方程，可知A、B点横坐标，进而利用两点间距离公式可求得|AB|，利用=|F1C|AB|计算即得结论【解答】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为： +=1，e=，a2=20，椭圆C的方程为： +=1；（2）由（1）知F1（2，0）、F2（2，0），依题意，直线AB的方程为：y=2
24、（x2），点F1到直线AB的距离|F1C|=，联立，消去y、整理得：3x210x=0，解得：x=0或，xB=0、xA=，yB=2（02）=4、yA=2（2）=，|AB|=，=|F1C|AB|=20已知抛物线C；y2=2px（p0）过点A（1，2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）将（1，2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线
25、方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得【解答】解：（1）将（1，2）代入y2=2px，得（2）2=2p1，所以p=2故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=1（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=2x+t，代入抛物线方程得y2+2y2t=0因为直线l与抛物线C有公共点，所以=4+8t0，解得t另一方面，由直线OA到l的距离d=可得=，解得t=1因为1，+），1，+），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y1=021已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好
26、是该椭圆的一个顶点（）求椭圆C的方程；（）已知圆M：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（1）由离心率为得，由抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点，得a=，进而可得c，由a2=b2+c2可求b；（2）先求得直线l的斜率不存在及斜率为0时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点O，当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理、向量数量积可得的表达式，再根据线圆相切可得k，
27、m的关系式，代入上述表达式可求得=0，由此可得结论；【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率，所以，即因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以c=1，b=1所以椭圆C的方程为（2）（i）当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为由，可得，则以AB为直径的圆的方程为（ii）当直线l的斜率为零时，因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为由，可得，则以AB为直径的圆的方程为显然以上两圆都经过点O（0，0）（iii）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
28、，则，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=所以=，因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线l的距离，整理，得，将代入，得，显然以AB为直径的圆经过定点O（0，0），综上可知，以AB为直径的圆过定点（0，0）22在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy+4=0，曲线C的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系（2）由Q在曲线C：上，（0360），知到直线l：xy+4=0的距离=，（0360），由此能求出Q到直线l的距离的最小值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，曲线C的普通方程是，点P的极坐标为，点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：xy+4=0，得04+4=0，成立，故点P在直线l上（2）Q在曲线C：上，（0360）到直线l：xy+4=0的距离：=，（0360）2016年10月16日