1、圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)半径为 r 一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：(D2，E2)半径 r12 D2E24F【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；(3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a
2、)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()(4)方程 x22axy20 一定表示圆.()(5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()1.(教材改编)圆心是(2,3)，且经过原点的圆的标准方程为_.答案(x2)2(y3)213解析 易得 r 13.2.已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m，0)(m0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为_.答案 6解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半
3、径 r1，且 AB2m.因为APB90，连结 OP，易知 OP12ABm.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为 OC 32425，所以(OP)maxOCr6，即 m 的最大值为 6.3.(2016扬州检测)当 a 为任意实数时，直线(a1)xya10 恒过定点 C，则以点 C 为圆心，5为半径的圆的方程为_.答案 x2y22x4y0解析 将方程分离参数 a 可得 a(x1)(xy1)0，方程表示过两直线的交点，由x10，xy10 得交点为(1，2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，即 x2y22x4y0.4.(教材改编)圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过
4、点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_.答案 x2y24x60解析 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，CACB，即 a121 a129，解得 a2，圆心为 C(2,0)，半径 CA 2121 10，圆 C 的方程为(x2)2y210，即 x2y24x60.5.(2016浙江)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.答案(2，4)5解析 由已知方程表示圆，则 a2a2，解得 a2 或 a1.当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50，化为标准方程
5、为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆.题型一 求圆的方程例 1(1)(2016天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_.(2)(2015课标全国)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.答案(1)x2y24x50(2)x322y2254解析(1)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a54 55，解得 a2，所以圆 C 的半径 rCM 453，所
6、以圆 C 的方程为(x2)2y29，即 x2y24x50.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点，(4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令 y0，解得 x32，圆心为32，0，半径为52.所以圆的标准方程为(x32)2y2254.思维升华(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而
7、求出 D，E，F 的值.(2016苏北四市联考)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成两段弧，弧长之比为 12，则圆 C 的标准方程为_.答案 x2(y 33)243解析 圆 C 关于 y 轴对称，可设 C(0，b)，设圆 C 的半径为 r，则圆 C 的标准方程为 x2(yb)2r2，依题意，得12b2r2，|b|12r，解得r243，b 33，于是圆 C 的标准方程为 x2(y 33)243.题型二 与圆有关的最值问题例 2(2016盐城检测)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值.解 设 txy，则 yxt，t 可视为直线
8、yxt 的纵截距，xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|23t|21，解得 t 21 或 t 21.xy 的最大值为 21，最小值为 21.引申探究1.在例 2 的条件下，求yx的最大值和最小值.解 yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为 ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k3|k211，解得 k22 33 或 k22 33.yx的最大值为22 3
9、3，最小值为22 33.2.在例 2 的条件下，求 x2y22x4y5的最大值和最小值.解 x2y22x4y5 x12y22，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1,2)的距离为 34，x2y22x4y5的最大值为 341，最小值为 341.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如 uybxa型的最值问题，可转化为过点(a，b
10、)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.(2016扬州模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2 的最大值和最小值.解(1)如图，方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径的圆.设yxk，即 ykx，则圆心(2,0)到直线 ykx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.由|2k0|k21 3，解得 k23，kmax 3，kmin
11、 3.(2)设 yxb，则 yxb，当且仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时，截距 b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|20b|2 3，即 b2 6，故(yx)min2 6.(3)x2y2 是圆上的点与原点的距离的平方，故连结 OC，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C，则(x2y2)max(OC)2(2 3)274 3，(x2y2)minOB2(2 3)274 3.题型三 与圆有关的轨迹问题例 3(2016盐城模拟)已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点.(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程.
12、解(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y).因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，PNBN.设 O 为坐标原点，连结 ON，则 ONPQ，所以 OP2ON2PN2ON2BN2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(
13、3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016天津模拟)设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM、ON为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹.解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又 N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285
14、(点 P 在直线 OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线 yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解 一般解法(代数法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与
15、 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)，设圆的方程是 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有1EF0，32 22D32 2F0，32 22D32 2F0，解得D6，E2，F1，故圆的方程是 x2y26x2y10.巧妙解法(几何法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0).故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1.则圆 C 的半径为 32t123，所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29，即 x2y26x2y10.1.(2017南京检测)圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆
16、与 x 轴相切，则该圆的方程是_.答案 x2y210y0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32(r1)2r2，解得 r5，所以圆的方程为 x2y210y0.2.已知圆 M 的圆心 M 在 y 轴上，半径为 1，直线 l：y2x2 被圆 M 所截得的弦长为4 55，且圆心 M 在直线 l 的下方，则圆 M 的标准方程是_.答案 x2(y1)21解析 点 M 到 l 的距离 d12 55 2 55.设 M(0，a)，所以|2a|5 55，所以 a1 或 a3.又因为 a0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长，则1a2b的最小值为_.答案 32 2解析 由题意知圆心
17、 C(2,1)在直线 ax2by20 上，2a2b20，整理得 ab1，1a2b(1a2b)(ab)3ba2ab32ba2ab 32 2，当且仅当ba2ab，即 b2 2，a 21 时，等号成立.1a2b的最小值为 32 2.4.点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x20y204，连线中点坐标为(x，y)，则2xx04，2yy02x02x4，y02y2，代入 x20y204，得(x2)2(y1)21.5.圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线 x2y231 的渐近线截得的弦长
18、为 3，则圆 C 的标准方程为_.答案 x2(y1)21解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为 3，倾斜角为 60，结合图形(图略)可知，所求的圆 C 的圆心坐标是(0,1)，半径是 1，因此其方程是 x2(y1)21.6.(2016淮安模拟)已知 P 是直线 l：3x4y110 上的动点，PA，PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线(A，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形 PACB 的面积的最小值是_.答案 3解析 圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则 C(1,1)，当 PC 最小时，四边形 PACB 的面积最小，(PC)min|3411|3242 2，此时 PAPB
19、3.所以四边形 PACB 的面积 S212 31 3.7.(2016常州模拟)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：yx1 被该圆所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 平行的直线方程为_.答案 xy30解析 设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)，因 为 圆 C 过 点(1,0)，且 直 线 l：y x 1 被 该 圆 所 截得 的 弦 长为 22，所 以1a2r2，|a1|2 2 22r2，解得a3，r24，即圆心坐标为(3,0)，则所求直线为 yx3，即 xy30.8.过点 P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面
20、积之差最大，则该直线的方程为_.答案 xy20解析 当圆心与点 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件.圆心 O 与点 P 连线的斜率 k1，所求直线方程为 y1(x1)，即 xy20.9.已知 D 是由不等式组x2y0，x3y0所确定的平面区域，则圆 x2y24 在区域 D 内的弧长为_.答案 2解析 作出可行域 D 及圆 x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角 所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为12，13，即 tan 12，tan 13，tan tan()1213112131，得 4，故弧长 lR422(R 为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1
21、,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最大值是_.答案 71解析 设 D(x，y)，由CD(x3，y)及|CD|1，知(x3)2y21，即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆，又OA OB OD(1,0)(0，3)(x，y)(x1，y 3)，|OA OB OD|x12y 32.问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点 P(1，3)间距离的最大值.圆心 C(3,0)与点 P(1，3)之间的距离为d3120 32 7，故x12y 32的最大值为 71.11.已知圆 C 经过 P(4，2)，Q(1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段的长为 4 3
22、，半径小于5.(1)求直线 PQ 与圆 C 的方程；(2)若直线 lPQ，且 l 与圆 C 交于点 A，B，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解(1)由题意知直线 PQ 的方程为 xy20.设圆心 C(a，b)，半径为 r，由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y12x32，即 yx1，所以 ba1.由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为 4 3，知 r2(2 3)2a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得 a1，b0 或 a5，b4.当 a1，b0 时，r213，满足题意，当 a5，b4 时，r237，不满足题意.故圆 C 的方程为(x1)2y213.(2)设直线
23、 l 的方程为 yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2).由题意可知 OAOB，即OA OB 0，x1x2(mx1)(mx2)0，化简得 2x1x2m(x1x2)m20.由yxm，x12y213 得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2m2122，代入，得 m212m(1m)m20，m4 或 m3，经检验都满足题意，直线 l 的方程为 xy40 或 xy30.12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 22，求圆 P 的方程.解
24、(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.则 y22r2，x23r2.y22x23，即 y2x21.圆心 P 的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P 点的坐标为(x0，y0)，则|x0y0|2 22，即|x0y0|1.y0 x01，即 y0 x01.当 y0 x01 时，由 y20 x201，得(x01)2x201.x00，y01，r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.当 y0 x01 时，由 y20 x201，得(x01)2x201.x00，y01，r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.综上所述，圆 P 的方程为 x2(y1)23.*13.已知 M 为圆 C：x2y24x14
25、y450 上任意一点，且点 Q(2,3).(1)求 MQ 的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值.解(1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 2.又 QC 2227324 2.所以(MQ)max4 22 26 2，(MQ)min4 22 22 2.(2)可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，n3m2k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2，可得 2 3k2 3，所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.
