1、优化总结 网络 体系构建专题 归纳整合达标检测专题一 用数学归纳法证明恒等式数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时，它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基)nn0 时结论成立第二步(归纳递推)假设 nk 时，结论成立，推得 nk1 时结论也成立它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立 用数学归纳法证明：124 146 16812n2n2n4n1(nN)证明(1)当 n1 时，左边12121218，右边141118，左边右边，所以等式成立(2)假设 nk(kN)时等式成立，即有124 146 16812k2k2k4k1，则当 nk1 时，124 146 16812k2k212k
2、12k12k4k114k1k2 kk214k1k2k124k1k2 k14k2k14k11.所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切 nN等式都成立1用数学归纳法证明，对于一切 nN，都有 112 123 1341nn1 nn1.证明：(1)当 n1 时，左边 11212，右边12，所以等式成立(2)假设当 nk(k1)时等式成立，即 112 1231kk1 kk1，则当 nk1 时，1121231341kk11k1k2kk11k1k2 kk21k1k2k12k1k2k1k11.所以 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对一切 nN都成立专题二 用数学归纳法证明整除
3、问题利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法(1)在使用数学归纳法证明整除问题时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“p(k)成立”是问题的条件，而“命题 p(k1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键(2)用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成 nk 时假设的形式 用数学归纳法证明：n(n1)(2n1)能被 6 整除证明(1)当 n1 时，123 显然能被 6 整除(2)假设 nk 时，命题成立
4、，即 k(k1)(2k1)2k33k2k 能被 6 整除当 nk1 时，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1)因为 2k33k2k 和 6(k22k1)都能被 6 整除，所以 2k33k2k6(k22k1)能被 6 整除，即当 nk1 时命题成立由(1)(2)知，对任意 nN原命题成立2用数学归纳法证明 42n13n2 能被 13 整除，其中 nN.解析：(1)当 n1 时，421131291 能被 13 整除(2)假设当 nk(k1)时，42k13k2 能被 13 整除，则当 nk1 时，42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13
5、k2)因为 42k113 能被 13 整除，42k13k2 能被 13 整除，所以当 nk1 时，命题成立由(1)(2)知，当 nN时，42n13n2 能被 13 整除证明：令 f(n)(3n1)7n1，(1)当 n1 时，f(n)(311)71127，能被 9 整除(2)假设 nk(k1，kN)时命题成立，则f(k1)f(k)(3k4)7k11(3k1)7k19(2k3)7k，f(k1)f(k)9(2k3)7k 能被 9 整除由(1)、(2)知，对一切 nN，命题成立3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被 9 整除专题三 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时
6、，关键仍在第二步，它与证明恒等式比较，证明不等式的难度较大，甚至有时第一步也不容易因而第二步用了归纳假设以后往往还要结合证明不等式的其他方法，如比较法、放缩法、分析法、反证法等才能达到证题目的 设 0a1，定义 a11a，an1 1ana，求证：对一切正整数 nN，有 1an1，又 a11a 11a，命题成立(2)假设 nk(kN)时，命题成立，即 1ak(1a)a1.同时，ak1 1aka1a1a21a 11a，当 nk1 时，命题也成立，即 1ak1 11a.综合(1)(2)可知，对一切正整数 n，有 1an1，即 n2 时不等式成立(2)设 nk(k2)时，不等式成立，即1k 1k1 1
7、k2 1k21，当 nk1 时，左边 1k1 1k21k211k12 1(2k1)1k121k1k2k1kk12.因为 k2，令 f(k)k2k1，对称轴为 k12，4用数学归纳法证明：1n 1n1 1n2 1n21(n1，nN)所以(2，)为 f(k)的增区间，所以 f(k)f(2)，即 k2k122211，所以k2k1kk12 0，所以 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，当 n1，nN时，不等式都成立证明：(1)当 n2 时，左边1314151656，不等式成立5求证：1n1 1n2 13n56(n2，nN)(2)假设当 nk(k2，kN)时，命题成立，即 1k1 1k2 13k5
8、6，则当 nk1 时，1k111k12 13k13k113k213k1 1k1 1k2 13k13k113k213k3 1k15613k113k213k3 1k1 56313k3 1k1 56.所以当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN均成立专题四 数学归纳法与数列的综合应用运用数学归纳法时的注意事项(1)对项数要估算正确，特别是寻找 nk 与 nk1 的关系时，项数发生什么变化容易被弄错(2)必须利用归纳假设(3)关键步骤要清晰明了，“假设 nk 时结论成立，利用此假设证明 nk1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，注意证明
9、过程的严谨性、规范性解析(1)由 Sn12an 1an 知当 n2 时，Sn112(an1 1an1)，所以 an12an 1an 12an1 1an1.整理得：an 1anan1 1an1，由 S112a1 1a1，即 a1 1a1，又 a10，所以 a11.已知正项数列an满足 Sn12an 1an.(1)求 a1，a2，a3 并推测 an.(2)用数学归纳法证明你的结论a2 1a22，即 a222a212.所以 a2 21，a3 1a32 2，即 a232 2a323，所以 a3 3 2，可推测 an n n1(nN)(2)证明：由(1)知 a11，满足 a1 1 111，故当 n1 时
10、，an n n1成立假设 nk 时，ak k k1，当 nk1 时，ak1 1ak12 k，即 a2k12 kak1kk1，所以 ak1 k1 k，即当 nk1 时，an n n1.由知数列an的通项公式为an n n1，nN.6设数列an满足 an1a2nnan1，n1,2,3，.(1)当 a12 时，求 a2，a3，a4，并由此猜想出 an 的一个通项公式；(2)当 a3 时，证明对所有的 n1，有 ann2；解析：(1)由 a12，得 a2a21a113，由 a23，得 a3a222a214，由 a34，得 a4a233a315.由此猜想 an 的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明
11、：用数学归纳法证明当 n1，a1312，不等式成立假设当 nk 时不等式成立，即 akk2，那么，当 nk1 时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当 nk1 时，ak1(k1)2.根据和，对于所有 n1，有 ann2.7设数列an满足 an1a2nnan1，n1,2,3，(1)当 a12 时，求 a2，a3，a4，并由此猜想出数列an的一个通项公式；(2)当 a13 时，证明对所有的 n1，有ann2；11a111a211an12.解析：(1)由 a12，得 a2a21a113；由 a23，得 a3a222a214；由 a34，得 a4a233a315.由此猜想：ann
12、1(nN)(2)证明：用数学归纳法证明：当 n1 时，a1312，不等式成立；假设当 nk 时，不等式成立，即 akk2，那么当 nk1 时，ak1a2kkak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1k3(k1)2，也就是说，当 nk1 时，ak1(k1)2.综上可得，对于所有 n1，有 ann2.由 an1an(ann)1 及，对 k2，有 akak1(ak1k1)1 ak1(k12k1)12ak112(2ak21)122ak221 23ak32221ak2k1a12k2212k1a12k112k1(a11)1，于是 1ak2k1(a11)，11ak11a1 12k1，k2.11a111a211an11a111a112 122 12n111a1112 122 12n121a11 12n 21a1 21312.因此，原不等式成立达标检测
