1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.设a0，b0，且ab4，则有()A.B.1C.2D.【解析】4ab2，2，21.【答案】B2.设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A.2B.C.1D.【解析】因为x，yR，a1，b1，且axby3，ab2，所以xloga3，ylogb3，log3alog3blog3(ab)，由均值定理，ab3，故log3alog3blog3(ab)log331.【答案】C3.设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A.8 B.4 C.1 D.【解析】由题意，知3a3b3，即3ab3，故ab1.因为a0，b0，所以
2、(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立.【答案】B4.已知ma1(a0)，n3x(x1)，则m，n之间的大小关系是() 【导学号：38000007】A.mnB.mnC.mnD.mn【解析】因为a0，所以ma1213，当且仅当a1时，等号成立.又因为x1，所以n3x313，所以mn.【答案】A5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品
3、的仓储费用是元，则2 20，当且仅当，即x80时“”成立，每批应生产产品80件，故选B.【答案】B二、填空题6.已知x，则函数y4x的最大值为_.【解析】因为x，所以4x50，所以54x0.所以y4x(4x5)55253，当且仅当54x，即x1时，等号成立.故当x1时，y取最大值，即ymax3.【答案】37.设点P(x，y)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2xlog2y的最大值是_.【解析】要求log2xlog2y的最大值，即求log2(xy)的最大值，应先求xy的最大值.显然当xy时，xy的最大值为，故log2xlog2y的最大值为2.【答案】28.函数yloga(x3)1(
4、a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_. 【导学号：38000008】【解析】因为yloga(x3)1恒过点(2，1)，所以A(2，1).因为A在直线上，所以2mn10，即2mn1.又因为mn0，所以m0，n0.又因为22428，当n，m时，等号成立，所以的最小值为8.【答案】8三、解答题9.已知a，b都是正数，且ab1，(1)求证：4；(2)求22的最小值.【解】(1)证明：2224.(2)2，即.又得0ab，即4，15，当且仅当ab上式等号成立.10.如图122所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这
5、两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？图122【解】设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，.其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25，广告的面积Sxyx25x，整理得S25(x20)18 500.因为x200，所以S218 50024 500.当且仅当25(x20)时等号成立，此时有(x20)214 400(x20)，解得x140，代入y25，得y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500
6、，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.能力提升1.已知a0，b0，则2的最小值是()A.2B.2C.4D.5【解析】22，因为a0，b0，所以ab2，当且仅当ab时，等号成立.所以222224，当且仅当时，等号成立.综上所述，ab1时，取等号.【答案】C2.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()A.B.C.D.【解析】l4r2h，即2rh，Vr2h.当且仅当rh时等号成立.【答案】A3.设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值为_.【解析】由a0，b0，0，得k.又因为24(ab时，取等号)，所以4.因此要使k恒成立，应有k4，即实数k
7、的最小值为4.【答案】44.如图123所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积.图123【解】(1)设ANx米(x2)，则ND(x2)米.由题意，得.，AM，S矩形AMPNx32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x8，AN的长的范围是(8，).(2)S矩形AMPN3(x2)1221224，当且仅当x4时取“”.当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24平方米.
