1、第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015广东文，8)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4D9答案B解析由题意得：m225429，因为m0，所以m3，故选B.2抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2B2C.D1答案D解析由y28x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d1.3已知椭圆1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB经过焦点F1，则ABF2的周长为()A10B20C2D4答案D解析由椭圆定义可知，有
2、|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，ABF2的周长L|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|2a2a4a.由题意可知b225,2c8，c216a2251641，a，L4，故选D.4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyxDyx答案C解析2b2,2c2，b1，c，a2c2b2312，a，故渐近线方程为yx.5(2015衡阳高二检测)“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若方程1表示椭圆，则1m0，mn0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲
3、线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为()A2BC.D答案A解析由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，tan60，ba，代入a2b2c2中得4a2c2，e24，e1，e2，故选A.10(2015天津理，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案D解析双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由点(2，)在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线y24x准线方程x上，所以c，由此可解得a2，b，所以双曲线方程为1，故选D.11(2015黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P为椭圆1上的一点，
4、F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A.BC.D.答案B解析a29，b24，c25.由椭圆定义知|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|FP2|22|PF1|PF2|36.在F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|220，|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|20，3|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|.12(2015重庆文，9)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()ABC1
5、D答案C解析由已知得右焦点F(c,0)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)、A2(a,0)；B(c，)、C(c，)；从而A1B(ca，)，(ca，)，又因为A1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)()()0；化简得到1，即双曲线的渐进线的斜率为1；故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2015陕西理，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析由题意可知，抛物线的准线方程为x，因为p0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(，0)；故由可解得p2.14(2
6、016山东理，13)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.答案2解析如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2，所以双曲线的离心率e2.15(2015南通高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆1上，则_.答案解析在椭圆1中a5，b4，c3，三角形ABC顶点A(3,0)和C(3,0)，顶点B在1上，BCAB2a1
7、0，由正弦定理.16方程1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t4；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t.其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案解析显然当t时，曲线为x2y2，方程表示一个圆；而当1t4，且t时，方程表示椭圆；当t4时，方程表示双曲线；而当1tt10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故为真命题三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2015辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中
8、点M的轨迹.解析设点M的坐标为(x，y)、点A的坐标为(x0，y0)由题意得，又点A(x0，y0)在圆(x1)2y24上，(2x3)2(2y3)24，即(x)2(y)21.故线段AB的中点M的轨迹是以点(，)为圆心，以1为半径的圆18(本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0bb0)，且c.设双曲线为1(m0，n0)，ma4.因为，所以，解得a7，m3.因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以b236，n24.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.20(本小题满分12分)如图所示，F1、F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶
9、点，已知椭圆上的点(1，)到F1，F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求F1PQ的面积解析(1)由题设知：2a4，即a2，将点(1，)代入椭圆方程得1，解得b23，故椭圆方程为1.(2)由(1)知A(2,0)，B(0，)，所以kPQkAB，所以PQ所在直线方程为y(x1)，由消x得8y24y90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，所以|y1y2|，所以SF1PQ|F1F2|y1y2|2.21(本小题满分12分)(2015山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点
10、M的横坐标为4，|MF|5.(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点解析(1)由题意得|MF|45，p2，故抛物线方程为y24x.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x4.由，得y4.|AB|8，4，以AB为直径的圆过原点当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x4)(k0)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，得k2x2(48k2)x16k20，x1x2，x1x216.y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24(x1x2)16k216416k2(32)16，x1x2y1y20.又x1x2y1y20，OAO
11、B，以AB为直径的圆必过原点综上可知，以AB为直径的圆必过原点22(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设椭圆的方程1(ab0)，F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，.a2b2c2，b212，故椭圆方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程yxt.由，消去y，得3x23txt2120.直线l与椭圆有公共点，(3t)212(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得，4，t2.由于24，4，故符合题意的直线l不存在
