1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3章不等式3.2基本不等式aba+b2(a,b0)3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设a,b为正数,且a+b4,则下列各式正确的是()A.1a+1b1B.1a+1b1C.1a+1b0,y0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64答案D解析由题意xy=2x+8yxy=2y+8x22y8x=8xy,xy8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.3.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试)下列说法正确的是()A.x+4x的最小值是4B.x2+4
2、+1x2+4的最小值是2C.若0xbc2,那么ab答案D解析对于A,当x0时,x+4x的值小于0,故A不正确;对于B,x2+4+1x2+42,当且仅当x2+4=1时,等号成立,这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C,0x0,x(1-x)x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,故C不正确;对于D,ac2bc2,c20,ab,故D正确.故选D.4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a0,b0,且不等式1a+1b+ka+b0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2答案C解析由1a+1b+ka+b0,得k-(a+b)2ab.因为(a+b)2
3、ab=ba+ab+24(当且仅当a=b时,等号成立),所以-(a+b)2ab-4.要使k-(a+b)2ab恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.5.若a0,b0,且1a+1b=ab,则a3+b3的最小值为.答案42解析a0,b0,ab=1a+1b21ab,即ab2,当且仅当a=b=2时,等号成立.a3+b32(ab)3223=42,当且仅当a=b=2时,等号成立.则a3+b3的最小值为42.6.已知0x0,xx2+3x+1a恒成立,则实数a的取值范围是.答案15,+解析因为x0,所以x+1x2,当且仅当x=1时,等号成立.所以xx2+3x+1=1x+1x+312+3=15,当且
4、仅当x=1时,等号成立.即xx2+3x+1的最大值为15,故a15.8.(1)已知x3,求y=4x-3+x的最大值;(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求1x+3y的最小值.解(1)x3,x-30,y=4x-3+x=4x-3+(x-3)+3=-43-x+(3-x)+3-243-x(3-x)+3=-1,当且仅当43-x=3-x,即x=1时,等号成立.f(x)的最大值为-1.(2)x,y是正实数,(x+y)1x+3y=4+yx+3xy4+23,当且仅当yx=3xy,即x=2(3-1),y=2(3-3)时,等号成立.又x+y=4,1x+3y1+32,当且仅当x=2(3-1),y=2(3-3)时,
5、等号成立.故1x+3y的最小值为1+32.关键能力提升练9.若-4x1,则y=x2-2x+22x-2()A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1答案D解析y=x2-2x+22x-2=12(x-1)+1x-1.-4x1,x-10,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36答案B解析(1+x)(1+y)(1+x)+(1+y)22=2+(x+y)22=2+822=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.11.已知a0,b0,若不等式4a+1bma+b恒成立,则m的最大值为()
6、A.10B.12C.16D.9答案D解析由已知a0,b0,若不等式4a+1bma+b恒成立,则m4a+1b(a+b)恒成立.问题转化成求y=4a+1b(a+b)的最小值,y=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9,当且仅当a=2b0时,等号成立.所以m9.故选D.12.(2020浙江西湖学军中学高一月考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为()A.0B.3C.94D.1答案D解析正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,z=x2-3xy+4y2.xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-312
7、xy4yx-3=1,当且仅当x=2y0时,等号成立,此时z=2y2.2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+11,当且仅当y=1时,等号成立.即2x+1y-2z的最大值是1.故选D.13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则()A.x=a+b2B.xa+b2C.xa+b2D.xa+b2答案B解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)1+a+1+b22,所以1+x2+a+b2=1+a+b2,所以xa+b2,当且仅当a=b
8、时,等号成立.故选B.14.(多选)下列不等式一定成立的是()A.x2+14x(x0)B.x+1x2(x0)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案BC解析对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x0时,x+1x2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)20,即x2+12|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+11,所以00,b0,且a+b=1,1=a+b2ab,ab14,当且仅当a=b=12时,等号成立.ab有最大值14,A错误.(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+214=2,a+
9、b2,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a+b有最大值2,B错误.14a+14b=a+b4ab=14ab1,当且仅当a=b=12时,等号成立.14a+14b有最小值1,C正确.a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-214=12,当且仅当a=b=12时,等号成立.a2+b2的最小值是12,不是22,D错误.16.(多选)(2020重庆万州第二高级中学月考)若a,b,cR,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A.a+b+c3B.(a+b+c)23C.1a+1b+1c23D.a2+b2+c21答案BD解析由基本不等式可得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,
10、上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)=2,a2+b2+c21,当且仅当a=b=c时,等号成立.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,a+b+c-3或a+b+c3.若a=b=c=-33,则1a+1b+1c=-330,y0,且1x+1+8y=2,则2x+y的最小值为.答案7解析由1x+1+8y=2,可得2x+y=2(x+1)+y-2=122(x+1)+y1x+1+8y-2=1210+16(x+1)y+yx+1-21210+216(x+1)yyx+1-2=7,当且仅当16(x+1)y=yx+1,即x=12,y=6时,等号成立.故2x+y的最小值
11、为7.19.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c2ab=2c,1b2+1c22bc=2a,1a2+1c22ac=2b,以上三个不等式相加,得21a2+1b2+1c22(a+b+c),即1a2+1b2+1c2a+b+c,所以a+b+c1a2+1b2+1c2.20.(1)若x0,求y=2xx2+1的最大值.解(1)因为x0.所以y=2x+1+1x-3=2(x-3)+1x-3+7=-2(3-x)+13-x+7.由基本不等式可得2(3-x)+13-x22,当且仅当2(3-x)=13-x,即x=3-22时,等号成立.所以-2(3-x)+13-x-22,所以y=2x+1+1x-
12、3=-2(3-x)+13-x+77-22,当且仅当x=3-22时,等号成立.故y=2x+1+1x-3的最大值是7-22.(2)y=2xx2+1=2x+1x.因为x0,所以x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以02x+1x1,即00)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)1.5500,整理得x2-300x0,解得0x300.又x0,故00,ax125+500x+1.5恒成立.又x125+500x4,当且仅当x=250时,等号成立,0a5.5,即a的最大值为5.5.- 7 - 版权所有高考资源网
