1、第2课时组合的综合应用1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.3.掌握解决组合问题的常见的方法.(难点)基础初探教材整理组合的实际应用阅读教材P19P21，完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题.(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论：根据计算结果写出方案个数.1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有_种
2、.【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C120(种).【答案】1202.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种.【解析】甲选修2门，有C6(种)不同方案.乙选修3门，有C4(种)不同选修方案.丙选修3门，有C4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有64496(种).【答案】963.从0,1, ， ，2这六个数字中，任取两个数字作为直线yxtan b的倾斜角和截距，可组成_条平行于x轴的直线.【解析】要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可.故有C5条满足条件.【答案】54.将7名学生
3、分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有_种. 【导学号：62980019】【解析】每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有CCCC112种分配方案.【答案】112质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参
4、加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题.【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法.共有CC378种不同的选法.解答简单的组合问题的思考
5、方法1.弄清要做的这件事是什么事.2.选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3.结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.再练一题1.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即CC21(种).有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15
6、名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种).不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有C种.或者CCC5 984种.不同的取法有5 984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2
7、名，有CC2 100种.不同的取法有2 100种.(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种.不同的取法有2 555种.(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC6 5454556 090种.不同的取法有6 090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.3.分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.再练一题2.“抗震救
8、灾，众志成城”，在我国“四川512”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种
9、选法.根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法.法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185(种)抽调方法.(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法.所以共有CCCCC115(种)抽调方法.组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个
10、、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有4811256216(个).法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种.故这12个点能构成三角形的个数
11、为CC216个.1.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.2.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.再练一题3.四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，不同
12、的取法有3C333种.探究共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C6(个)不同结果.完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘.探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有A210(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除.探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分
13、步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代
14、表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表.【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种.(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种.(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A
15、种，共CCA360种.解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1.按事情发生的过程进行分步.2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.再练一题4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A.360B.520C.600D.720【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则
16、有CCA21024480种选法.第二类，甲、乙都参加时，则有C(AAA)10(2412)120种选法.所以共有480120600种选法.【答案】C构建体系 1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C120(种).故选C.【答案】C2.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有() 【导学号：62980020】A.60种B.20种C.10种D.8种【解析】四盏熄灭的灯产生的5个
17、空档中放入三盏亮灯，即C10.【答案】C3.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答).【解析】有CCA36种满足题意的分配方案.其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数.【答案】364.在直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个.【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总
18、数为CC1515225个.【答案】2255.车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法.【解】法一：设A，B代表两名老师傅.A，B都不在内的选派方法有：CC5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：CCC10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：CCC30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：CACC80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：CCC20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：CCC40(种).所以共有CCCCCCCCCACC
19、CCCCCC185(种)选派方法.法二：5名钳工有4名被选上的方法有：CC75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：CCC100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：CCC10(种).所以一共有7510010185(种)选派方法.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016中山高二检测)圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A.720B.360C.240D.120【解析】确定三角形的个数为C120.【答案】D2.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不
20、同的奥运广告.要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A.120种B.48种 C.36种D.18种【解析】最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA36种不同的播放方式.【答案】C3.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种 C.65种D.66种【解析】均为奇数时，有C5种；均为偶数时，有C1种；两奇两偶时，有CC60种，共有66种.【答案】D4.(2016青岛高二检测)将标号为1,2，10的10个球放入标号为1,2，10的10个盒子里，每个盒内放一个
21、球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A.120B.240 C.360D.720【解析】先选出3个球有C120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有1202240种方法.【答案】B5.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()A.CCB.CAC.CACAD.AA【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种.故有CA种.【答案】B二、填空题6.某单位有15名成员，其中
22、男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是_. 【导学号：62980021】【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC2 100种抽法.【答案】2 1007.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有_种不同的选法.【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为CC；若两名队长均入选，则选法种数为C，故不同选法有CCC714(种).【答案】7148.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2
23、张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有_种.【解析】6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA180(种).【答案】180三、解答题9.，是两个平行平面，在内取四个点，在内取五个点.(1)这些点最多能确定几条直线，几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1)在9个点中，除了内的四点共面和内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C36条.在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多.又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多
24、可确定CCCC272个平面.(2)同理，在9个点中，除了内的四点共面和内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多.此时最多能作CCCCCC120个三棱锥.10.按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有464 096种不同放法.(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有CCACCA1
25、 560(种)不同放法.(3)法一按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有CC10(种)不同放法.法二(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有C10(种)不同放法.能力提升1.(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个 C.96个D.72个【解析】分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2
26、,4中任选一个，共有CA个偶数.故符合条件的偶数共有2ACA120(个).【答案】B2.如图121，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有_种.图121【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C416种不同的建桥方案.【答案】163.(2016孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜
27、色不相同，则不同的染色方法共有_种. 【导学号：62980022】【解析】若用三种颜色，有CA种染法，若用四种颜色，有5A种染法，则不同的染色方法有CA5A240(种).【答案】2404.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CAA种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法.所以共有不同测试方法AAA103 680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法CCA576种.
