1、21合情推理与演绎推理21.1合情推理1了解推理的结构及合情推理的定义(易混点)2了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题(重点)3了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题(重点、难点)基础初探教材整理1推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题1推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_，这种思维方式叫做推理2推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做_；一部分是由已知推出的判断，叫做_3推理的分类推理一般分为_推理与_推理4合情推理前提为真时，结论_为真的推理，叫做合情推理【答案】1.
2、判断2.前提结论3.合情演绎4可能如图211所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_(n1，nN)图211【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2,3,4,5,6的图形特点归纳得an3n3(n1，nN)【答案】153n3教材整理2归纳推理与类比推理阅读教材P54P58，完成下列问题1归纳推理(1)定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做_(简称_)(2)归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相
3、同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)【答案】1.(1)归纳推理归纳2类比推理(1)定义：根据_之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做_(简称_)它属于合情推理(2)类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)【答案】2.(1)两类不同事物类比推理类比1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用()(3)归纳推理是由个别到一般的推理()【答案】(1)(
4、2)(3)2平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行【解析】利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数、式中的归纳推理(1)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 017(x)的表达式为_(2)观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)
5、23135，照此规律，第n个等式可为_(3)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_. 【导学号：05410038】【精彩点拨】结合数或式子的结构特征，提炼结论【自主解答】(1)由题意f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，故f2 017(x).(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个
6、乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(3)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).【答案】(1)f2 017(x)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(3)f3(x)fn(x)进行数、式中的归纳推理的一般规律1已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注
7、意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式再练一题1(1)已知数列an中，a11，an1(aN)，则可归纳猜想an的通项公式为()AanBanCanDan(2)已知，推测猜想一般性结论为_. 【导学号：05410039】【解析】(1)由已知得a11，a2，a3，a4，由此可猜想an.(2)每一个
8、不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：(a，b，m均为正数，且ab)【答案】(1)B(2)(a，b，m均为正数，且ab)几个图形中的归纳推理(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图212的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是_图212(2)根据图213中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_图213【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖
9、的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6(n1)55n1.(2)图形到中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1223,5233,13243,29253，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为293509.【答案】(1)5n1(2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：再练一题2观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_【解
10、析】观察F，V，E的变化得FVE2.【答案】FVE23根据如图214的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈(1)(2)(3)(4)(5)图214【解】法一：图(1)中的圆圈数为120，图(2)中的圆圈数为221，图(3)中的圆圈数为322，图(4)中的圆圈数为423，图(5)中的圆圈数为524，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2(n1)n2n1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2(21)1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3(31)1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方
11、向，每个方向有三个圆圈，共有4(41)1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5(51)1个圆圈；由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n1)个圆圈，因此共有n(n1)1(n2n1)个圆圈探究共研型类比推理及其应用探究1在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？【提示】四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积探究2三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？【提示】四面体的体积等于底面积与高的积的.(1)在公比为4的等比数列bn
12、中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和可类比得到的结论是_.(2)在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由【精彩点拨】(1)等比数列中的商类比等差数列中的差(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高【自主解答】(1)因为等差数列an的公差d3，所以(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)100d300，同理可得：(S40S30)(S30S20
13、)300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300(2)如图所示，由射影定理得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2CDBC，所以.又BC2AB2AC2，所以.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.如图，连接BE交CD于F，连接AF，因为ABAC，ABAD，ACADA，所以AB平面ACD，而AF平面ACD，所以ABAF，在RtABF中，AEBF，所以，易知在Rt
14、ACD中，AFCD，所以，所以，猜想正确1解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角2.中学阶段常见的类比知识点有：等差与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等再练一题4上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论(不必证明)【解】对于任意的kN，都有数列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列，且公差为k2d.构建体系1我们把1,4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图215)图
15、215则第n个正方形数是()An(n1)Bn(n1)Cn2D(n1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】C2如图216所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图216Aan3n1Ban3nCan3n2nDan3n12n3【解析】a11，a23，a39，a427，猜想an3n1.【答案】A3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_. 【导学号：05410040】【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关
16、系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积之比为18.【答案】184观察下列等式：11，2349，3456725，4567891049，照此规律，第五个等式应为_【解析】每行最左侧数分别为1,2,3，所以第n行最左侧的数应为n；每行的个数分别为1,3,5，所以第n行的个数应为2n1.所以第5行的数依次是5,6,7，13，其和为5671381.【答案】56713815已知在数列an中，a1，an1.(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.【解】(1)a2，同理a3，a4，a5.(2)由a2，a3，a4，a5，可猜想an.我还有这些不足：(
17、1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，.由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an6
18、n2.【答案】C2数列3,7，11,15，的通项公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)【解析】当数列中负项、正项交替出现时，用(1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(1)n1来控制【答案】C3定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：图218那么下列4个图形中，图219可以表示A*D，A*C的分别是()A(1)，(2)B(1)，(3)C(2)，(4)D(1)，(4)【解析】由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)【答
19、案】C4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz)【解析】A错误，因为logaxlogaylogaxy(x0，y0)；B错误，因为sin(xy)sin xcos ycos xsin y；C错误，如当n2时，若xy0，则(xy)2x22xyy2x2y2；D正确，类比的是加法、乘法的结合律【答案】D5给出下列等式：19211，1293111，123941 111，1 2
20、349511 111，12 34596111 111，猜测123 45697等于()A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.【答案】B二、填空题6已知 2 ，3，4 ，.若8(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_.【解析】由所给等式知，a8，t82163，at71.【答案】717设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_. 【导学号：05410041】【解析】f(2)，f(4)2，f(
21、8)，f(16)3，由此可推测一般性的结论为f(2n).【答案】f(2n)8对于命题“如果O是线段AB上一点，则| |0”，将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三
22、边(2)三角形的面积S底高(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论【解】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积V底面积高(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2110(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形图2110(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的
23、“归纳推理思想”归纳出f(n1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式【解】(1)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(5)254441.(2)f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律得出f(n1)f(n)4n.f(2)f(1)41，f(3)f(2)42，f(4)f(3)43，f(n1)f(n2)4(n2)，f(n)f(n1)4(n1)f(n)f(1)412(n2)(n1)2(n1)n，f(n)2n22n1.能力提升1观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072
24、，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2【解析】观察已知等式，第n个等式左边都是2n1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n1)2.由此可得一般结论为：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，故选B.【答案】B2已知x0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nN)，则a()A2nBn2C3nDnn【解析】x22，x33.由此猜想，x所以ann，选D.【答案】D3在RtABC中，C90，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r，将此结论类
25、比到空间，得到相类似的结论为：_. 【导学号：05410042】【解析】利用类比推理，可把RtABC类比为三棱锥PABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PAa，PBb，PCc时，其外接球半径为R.【答案】在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，则三棱锥PABC的外接球的半径为R4如图2111所示，为m行m1列的士兵方阵(mN，m2)图2111(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列的第几项？【解】(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3,4,5，时的士兵人数分别为12,20,30，.故所求数列为6,12,20,30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，解得n98，即an是数列的第98项.
